Dowód niewymierności √2 Lila0073: Dowód niewymierności liczby √2 W podręczniku jest wyjaśnienie, ale zupełnie go nie rozumiem... Do tego "przykładu" mam zadanie polegające na dowodzie niewymierności x=√3 x=√5 x=√6 Zupełnie nie wiem jak to zrobić

Mila: A jaki to dowód? Można na różne sposoby to wykazać.

Lila0073: √2=m/n więc 2n²=m² zauważmy, że ostatnia równość nie może zachodzić, gdyż oznaczłaby oba, że przy rozkladzie na czynniki pierwsze liczba 2 występuje parzystą liczbę razy po prawej stronie i nieparzystą liczbę razy po stronie lewej. Otrzymalibyśmy sprzeczność, a więc przypuszczenie, że √2 można wyrazić jako ułamek m/n, było fałszywe. Zatem √2 jest loczbą wymierną. Kompletnie niw rozumiem tego wyjaśnienia, nie można jakoś jaśniej?

Milo: Udowodnimy to nie−wprost. Załóżmy więc, że √2 jest liczbą wymierną.

	m
√2=		, dla pewnych m,n∊ℤ i n≠0
	n

Dodatkowo załóżmy, że największy wspólny dzielnik liczb m oraz n wynosi 1 (gdyby tak nie było, ułamek można by skrócić − zrobilibyśmy to i już by tak było ) Stąd (obustronnie do kwadratu)

	m2
2=
	n2

2n² = m² Wynika stąd, że 2|m², czyli też 2|m Możemy więc napisać m=2k, dla pewnego całkowitego k Stąd 2n² = m² = (2k)² 2n² = 4k² n² = 2k² Czyli 2|n², skąd też 2|n. Otrzymaliśmy sprzeczność − liczba 2 jest wspólnym dzielnikiem liczb m i n, chociaż założyliśmy, że nie mają wspólnego dzielnika większego od 1 Ta sprzeczność pokazuje, że √2 nie jest liczbą wymierną − jest więc liczbą niewymierną.

Benny: Załóżmy, że √2 jest wymierne. f(x)=x²−2 Z twierdzenia o pierwiastku wymiernym wynikałoby, że musi być nim −1 lub 1 lub −2 lub 2. f(1)=−1 f(−1)=−1 f(−2)=2 f(2)=2 Brak pierwiastków wymiernych. Sprzeczność.

Milo: W podręczniku pewnie chodzi o to, że w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby n² (n∊ℤ) dwójka zawsze występuje parzystą liczbę razy. Zauważ, że n=2^α*k, gdzie k jest nieparzyste, a α − całkowite nieujemne (wyciągaliśmy dwójkę tak długo, jak się da) np. 36 = 2*18 = 2² * 9, w tym przypadku α=2 oraz k=9 Oczywiście gdy liczba n jest nieparzysta, α=0 (2⁰=1) Skoro n=2^α*k, to n²=(2^α*k)² = (2^α)²*k² = 2^2α*k² k² jest oczywiście nieparzyste (gdyż k było nieparzyste). Czyli faktycznie w rozkładzie n² na czynniki pierwsze dwójka występuje parzystą liczbę razy (2α razy) Równanie m²=2n² przeczy tej zasadzie, ponieważ: Jeśli skorzystamy z tego, co pokazaliśmy wyżej, to się okaże, że po lewej stronie równania dwójka występuje parzystą liczbę razy (bo jest tam m²) Z kolei po prawej stronie dwójka występuje nieparzystą liczbę razy (jeśli n=2^α*k, to 2n²=2*2^2α*k² = 2^2α+1*k²) Otrzymaliśmy sprzeczność.