Zadanie ostatnie. Wektor: Obliczyć całkę powierzchniową zorientowaną. ∫∫_S xdydz + ydxdz + zdxdy gdzie S górną stroną wykresu funkcji z=xy rozpiętego nad zbiorem D: 0≤x≤y², 0≤y≤1 ∫∫(−Phx−Qhy+R)dxdy F=(x,y²,3z) z=h(x,y) r=(x,y,h(x,y)) r_x=(1,0,hx) r_y=(0.1.hy) r_x x r_y = (−hx,−hy,1) hx=−y hy=−x ∫₀¹ ∫_o^y2(xy+y²x+3xy)dydx = ... = 1.2

jc: Parametryzacja: (x,y) →(x,y,xy) | x y xy| | 1 0 y | = − xy | 0 1 x | ∫₀¹ dy ∫₀^x2 (−xy) dx = ...

jc: Błąd. ∫₀¹ dy ∫₀^y2 (−xy) dx = ∫₀¹ (−y⁵)/2 = −1/12

Wektor: Ten wyznacznik to nie wektor? I rozumiem, że jak mam ∫₀^y2∫₀¹ Fdxdy mogę zamienić na ∫₀¹∫₀^y2 Fdydx i nic nie zmieniać w granicach

Wektor: Jak to ma się do tego wzoru ∫∫(−Phx−Qhy+R)dxdy ?

jc: Iloczyn wektorowy mnożysz skalarnie przez pole. Taki iloczyn to wyznacznik. Na początku miałeś pole F=(x,y,z), a potem piszesz jakieś cuda. Jedynie co musimy zrobić, to wyrazić składowe pola przez parametry, w naszym zadaniu przez x,y. x=x, y=y, z=xy czyli F=(x,y,xy).

Wektor: Czyli liczę wyznacznik macierz, a potem z tego całkę liczę? I co z tymi granicami.

jc: Wszystko jedno. (UxV)*F = wyznacznik( U, V, F). Niezależnie jak liczysz, składowe pola wyrażasz przez parametry. W ten sposób otrzymujesz całkę podwójną po zbiorze parametrów. Dopiero tutaj uwzględniasz D: 0≤x≤y2, 0≤y≤1.

Wektor: Możesz to policzyć bo nie rozumiem o co ci chodzi. I w jaki sposób uwzględniam te granice?

Wektor: W jakiej kolejności te granice. Proszę o pomoc.

Adamm: ∫₀¹∫₀^y2funkcjadxdy