calka pierwiastek mat: Mam pytanie czy można tak policzyć tę całkę ? ∫⁴₃ √2v²dv Jeżeli obszar całkowania jest dodatni to można zrobić tak √v²=v ? Wtedy całka wychodzi mi równa √2

Jerzy: A jaką masz całkę nieoznaczoną ?

jc: Tak.

Jerzy: = √2₃∫⁴vdv

mat: Ok, dziękuję za odpowiedź

mat: Może ktoś mi wytłumaczyć jak liczyć potencjał pola w tym zadaniu bardziej chodzi mi, że te całki są niezależne od drogi całkowania F(x,y)=(xy²,x²y) Tu wiem, ze jest warunek żeby pole F było potencjalne pochodne cząstkowe P i Q muszą być równe. Kłopot w tym, że nie wiem jak określić po czym mam całkować Jak zrobić te równania ?

jc: W takich prostych przypadkach odgadujesz wynik i po sprawie. grad x²y² = (2xy², 2x²y) −−− Przykład rachunku. Szukasz f takiego, że f_x=xy² i f_y=x²y. Możesz sprawdzić wcześniej czy f_xy=f_yx. f_x=xy², f(x,y)=∫xy² dx = x²y²/2 + K(y). f_y=x²y, podstawiamy poprzedni wynik, x²y+K'(y)=x²y. K'(y)=0, K(y)=C. Zatem f=x²y²/2 + C.

mat: Dziękuję za odpowiedź A ten przedział ? Żeby policzyć potencjał muszę mieć A i B

jc: A jaką poznałeś definicję potencjału?

jc:

	x2y2
W Twoim zadaniu potencjał pola F to V = −		, bo F = − grad V.
	2

mat: Chodzi mi o taki wzór : U = ∫_AB F o dr= U(r) |^A_B = U(x2,y2)−U(x1,y1)

mat: i w zadaniu nie ma podanego A i B, a nawet jeśli jest podany to i tak trzeba liczyć z tych równań, bo te całki są niezależne od drogi całkowania

jc: Jeśli Twoje U=f=−V, to dobrze napisałeś. Całka = f(koniec)−f(początek).

jc:

	δf		δf
Wzór: ∫(		dx +		dy) = f(koniec)−f(początek)
	δx		δy

mat: Ok, dziękuję za pomoc. Jeszcze jedno pytanie co do całek. Muszę policzyć pole powierzchni płata ∑, który jest częścią paraboloidy z = x² + y² zawartą między płaszczyznami z=1 i z=4. To rozdzielam to na dwa płaty ∑1 dla to tu mam okręg o r = 1 i ∑2 tu mam okręg o r=2 i teraz wykorzystuje wzór z tych całek powierzchniowych niezorientowanych i ja to wyliczę to przechodzę na współrzędne biegunowe ? Dobrze to rozumiem ? D: { 1≤r≤2 { 0≤φ≤2π

jc: Całkujesz tak, jak napisałeś, po pierścieniu (jedna część, nie dwie).

mat: Czyli tylko dla jednego płata ∑,a i obszar całkowania jest dobrze ? Normalnie za x=rcosφ, a za y=rsinφ i jeszcze jakobian = r ?

jc: ∫∫ √1+(δz/δx)² + (δz/δy)² dx dy = ∫∫√1+ 4x² + 4y² dx dy = ...

mat: ok, dziękuje o ten wzór mi chodziło i teraz przechodzę na współrzędne biegunowe + jakobian

mat: ∫²π₀ dφ ∫¹₂ (√1+4r²cos²φ+4r^r2sin²φ)*r dr

jc: Tak, ale należy pamiętać, że x²+y²=r² i nie pisać żadnych sin/cos, jak nie trzeba.

mat: Ok, dziękuję za pomoc. Przerobię różne zadania

mat: Mam pytanie co do wyznaczania obszaru dla φ w np. współrzędnych biegunowych D: y≥0 y≤x²+y²≤x i dla r : sinφ≤r≤cosφ i teraz jak wyznaczyć przedział dla φ? jest jakiś szybszy sposób niż narysowanie tego na wykresie r(φ) ?

jc: Najlepiej narysować obszar i odczytać z rysunku.