równanie Dora: Rozwiąż w R równanie x³−3=8³√3+8x

jc: Jednym z pierwiastków jest 3.

Dora: Tak to akurat miałam ale bardziej interesuje mnie sposób.

jc: Pozostałe pierwiastki to (−3 ± √3)/2.

jc: Podstawiłem 3 i zobaczyłem, że prawa strona równa się lewej. Dlaczego 3? Bo wiem, że 27=3³. To była najmniejsza nieujemna liczba, dla której potrafiłem obliczyć pierwiastek.

Adamm: x³−27=8³√3+8x−8*3 x³−27=8(³√3+8x−3)

	8x−24
x3−27=8*
	(3+8x)2/3+3(3+8x)1/3+9

x=3 lub (x²+3x+9)[(3+8x)^2/3+3(3+8x)^1/3+9]=64 f(x)=x²+3x+9 jest rosnąca dla x≥−3/2 a malejąca dla x≤−3/2 podobnie f(³√3+8x) jest rosnąca dla ³√3+8x≥−3/2 ⇔ x≥−51/64 a rosnąca dla x≤−51/64 obie są dodatnie iloczyn funkcji rosnących dodatnich jest funkcją rosnącą skąd ponieważ dla x=−51/64 f(x)f(³√3+8x)−64≈−15 więc mamy jeden pierwiastek dla x≥−51/64 i podobnie dla x=−3/2 f(x)f(³√3+8x)−64≈−16 więc mamy drugi dla x≤−3/2 w międzyczasie możliwe że mamy jeszcze jakiś dla x∊(−3/2;−51/64) więc mamy 3 możliwe pierwiastki

Adamm: co najmniej 3

Dora: jc a jak wyznaczyles te pozostałe pierwiastki

Adamm: x³=8³√8x+3+3 f(x)=³√8x+3 równanie to inaczej f(f(x))=x jeśli f(x)=x to tym bardziej f(f(x))=x f(x)=x ⇔ x³−8x−3=0 ⇔ x=3 lub x=−3/2−√5/2 lub x=−3/2+√5/2 (x³−3)³−8³(8x+3)=0

(x3−3)3−83(8x+3)
	=x6+8x4−6x3+64x2−24x+521=
x3−8x−3

=(x³−3)²+8x⁴+64x²−24x+512 64x²−24x+512 tutaj mamy Δ=−130496 więc (x³−3)²+8x⁴+64x²−24x+512>0, więcej pierwiastków nie ma

jc: Ślicznie

Dora: A mozna tak? ³√8x+3=y wtedy x³=8y+3 oraz y³=8x+3 więc x³−y³=8(y−x) .

jc: Jeszcze ładniej x=y lub x²+xy+y² + 8 = 0 x²+xy+y² ≥0

jc: Dora, gdzie znalazłaś takie zadanie?

Metis: jc, proszę zaglądaj na forum. Od jutra będę wstawiał zadanka, zależy mi na twojej pomocy

jc: Metis, jak tam praca?