Równanie prostej przechodzącej przez pkty A(3, -2, 4), B(-1, -3, 5) paprykarz: Hej. Powiedzcie proszę jak zrobić następujące zadanie: Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty A(3, −2, 4), B(−1, −3, 5). Wiem co zrobić w przypadku, kiedy w A i B byłyby dwa punkty, ale w tej sytuacji muszę poprosić Was o pomoc. Pozdrawiam.

Mila: To znaczy umiesz to rozwiązać w R²? W R³ będzie np. tak: A(3, −2, 4), B(−1, −3, 5) AB^→=[−1−3,−3+2,5−4]=[−4,−1 , 1]− wektor kierunkowy prostej L, A∊L⇔ 1) L: x=3−4t y=−2−t z=4+t , t∊R to jest równanie parametryczne szukanej prostej 2) Równanie kierunkowe:

x−3		y+2		z−4
	=		=
−4		−1		1

Albo:

x+1		y+3		z−5
	=		=
−4		−1		1

paprykarz: Tak, umiem rozwiązać w R². Mogę mieć pytanie wzięła się część za AB^→ ? Jest na to jakiś konkretny wzór który wykorzystałaś?

Adamm: B−A=AB tak samo jest w przestrzeni

paprykarz: Czyli można powiedzieć, że Mila wykorzystała taki wzór AB^→, jeżeli mielibyśmy punkty A(a, b, c), B(d, e, f): AB^→ = [d − a, e − b, f − c] czy tak?

Mila: Tak.

paprykarz: Okay, dziękuję. Proszę jeszcze o informację na podstawie jakich wzorów wzięło się to: L: x=3−4t y=−2−t z=4+t Jeżeli to możliwe, bardzo prosiłbym o podobne rozpisanie jak ja to uczyniłem, abym miał czarno na białym co i jak.

po prostu Michał: x = x_a + x_w * t y = y_a + y_w * t z = z_a + z_w * t A(x_a,y_a,z_a) <−−− dowolny punkt nalezacy do prostej W(x_w,y_w,z_w) <−−− wektor kierunkowy prostej

Mila: Równanie prostej w R³. http://wmii.uwm.edu.pl/~kost/wyklad_M_2_2.pdf https://www.youtube.com/watch?v=rZebMiIw2HU

Milo: z postaci kanonicznej.

	x−x0		y−y0		z−z0
Mamy		=		=		= t
	a		b		c

Skąd x= at + x₀ y=bt + y₀ z=ct + z₀ Gdzie [a,b,c] − wektor równoległy do prostej, a P(x₀,y₀,z₀) − punkt leżący na prostej

paprykarz: Dziękuję bardzo. Czy istnieje również jakiś sposób czy wzór, kiedy mamy do czynienia z trzema punktami, na przykład A(a, b, c), B(d, e, f), C(g, h, i) ?

Adamm: prowadzisz prostą przez A i B, i sprawdzasz czy C do niej należy

paprykarz: Przepraszam, konkretniej chodziło mi o równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty: A(1, −2, 2), B(−1, −3, 4), C(0, 2, 1). Doszedłem do tego momentu: AB→ = [−2, −4, −2] AC→ = [−1, 3, −1] Jakie są dalsze kroki w celu wyznaczenia równania płaszczyzny? Jeżeli to możliwe, bardzo proszę o wypisanie tego krok po kroku i co i jak się odbywa. Wtedy łatwiej mi się to udaje zrozumieć i zapamiętać.

Adamm: liczysz ABxAC=[a; b; c] i płaszczyzna jest dana równaniem a(x−x₀)+b(y−y₀)+c(z−z₀)=0 gdzie (x₀; y₀; z₀) jest puntem należącym do płaszczyzny

Mila: Za pół godziny. Popatrz tymczasem na youtube . https://www.youtube.com/watch?v=FU05st2A21c

Adamm: do zapisania równania płaszczyzny potrzebujesz wektor do niej normalny (prostopadły) oraz punkt przez który ona przechodzi, i tak jest zawsze

Adamm: albo równanie prostej przez A oraz B, i potem równanie prostej przez A oraz C i masz w postaci krawędziowej

Adamm: cofam to co powiedziałem 19:50, głupota

paprykarz: i→ j→ k→ n→ = AB→ x AC→ = −2 −4 2 = −1 3 −1 Doszedłem do tego momentu. Nie wiem jakie rachunki trzeba wykonać w tym momencie.

Adamm: źle policzyłeś AB oraz AC

paprykarz: AB→ [−1 − 1, −3 − 1, 4 − 2] AC→ [0 − 1, 2 + 1, 1 − 2] Tak policzyłem AB i AC.

Adamm: jakie masz podane A ?

paprykarz: A(1, −2, 2)

Adamm: to czemu tam masz −3−1 i potem 2+1? powinno być −3−(−2) oraz 2−(−2)

Adamm: wyznacznik najprościej moim zdaniem metodą Sarrusa

paprykarz: ok, dzięki. teraz mam: AB→ = [−2, −2, 2] AC→ = [−1, 3, −1] i j k n→ = AB→ x AC→ = −2 −2 2 −1 3 −1

Adamm: poprawiłeś, ale źle

Adamm: −3−(−2) ile wynosi? a ile wynosi 2−(−2) ?

paprykarz: A(1, −2, 2), B(−1, −3, 4), C(0, 2, 1) AB→ = [−1 −1, −3 − (−1), 4−2] AB→ = [−2, −2, 2] AC→ = [0 − 1, 2 − (−1), 1−2] AC→ = [−1, 3, −1] Zrobiłem to w ten sposób.

Adamm: przecież ci mówię masz tam −2 więc odejmujesz −2 (dodajesz 2) czemu odejmujesz −1 ? przecież to jest bez sensu

paprykarz: Przepraszam, te punkty to: A(1, −1, 2), B(−1, −3, 4), C(0, 2, 1) źle przepisałem. czy w tym przypadku moje zapiski są dobre?

Adamm: dobrze, teraz tak i j k −2 −2 2 = i*(−2)*(−1)+j*2*(−1)+k*(−2)*3−(i*2*3+j*(−2)*(−1)+k*(−2)*(−1))= −1 3 −1 =i*(−4)+j*(−4)+k*(−8) = −4*[1; 1; 2] wektor normalny to n=[1; 1; 2] i wystarczy podstawić do wzoru 1*(x−1)+1*(y+1)+2*(z−2)=0 x+y+2z−4=0

paprykarz: Proszę mi jeszcze powiedzieć skąd, i czy zawsze tam gdzie jest i, j, k jest taka sama reguła przy wymnażaniu poszczególnych czynników. Jest na to jakiś konkretny wzór?

Adamm: i, j, k to wersory https://pl.wikipedia.org/wiki/Wektor_jednostkowy to co obliczasz to wyznacznik macierzy 3x3 https://pl.wikipedia.org/wiki/Wyznacznik jedna z metod na obliczanie takiego wyznacznika to reguła Sarrusa https://pl.wikipedia.org/wiki/Regu%C5%82a_Sarrusa poczytaj sobie, odpowiedz jeszcze raz to co chcesz

jc: To jest sposób na zapamiętanie. Wpisujesz 3 litery w pierwszym wierszu i rozwijasz względem tego wiersza. |a b c| |1 2 3| |5 7 9| = a |2 3| − b |1 3| + c|1 2| |7 9| |5 9| |5 7| Przy kolejnych literach stoją kolejne składowe iloczynu wektorowego (1 2 3)x(5 7 9)

paprykarz: a ten wzór: 1*(x−1)+1*(y+1)+2*(z−2)=0 jaką ma postać ogólną?

Adamm: jak masz wektor normalny do płaszczyzny n=i*n_x+j*n_y+k*n_z i punkt przez który ona przechodzi A=(x₀; y₀; z₀) to równanie płaszczyzny to zawsze n_x(x−x₀)+n_y(y−y₀)+n_z(z−z₀)=0

paprykarz: okay, pojmuję. a ostatnie pytanie, czy w tym wzorze: 1*(x−1)+1*(y+1)+2*(z−2)=0 nie powinno być zamiast (y+1), (y−1)?

Adamm: nie A=(1; −1; 2) y−(−1)=y+1

paprykarz: okay, czyli do wzoru zawsze podstawiam punkt A, a nie tak jak myślałem to, co zostało wyliczone (n=[1; 1; 2]), tak?

Adamm: nie podstawiasz A, tylko dowolny punkt należący do płaszczyzny spróbuj podstawić B i porównaj wynik

paprykarz: to, że tak głupio zapytam: skoro mamy wzór i dowolny punkt należący do płaszczyzny to czy wcześniejsza część zadania dotycząca m.in obliczenia tej macierzy do czego była potrzebna?

Adamm: nie obliczasz macierzy tylko jej wyznacznik co to znaczy obliczyć macierz? bez sensu iloczyn wektorowy był ci potrzebny do znalezienia wektora prostopadłego do płaszczyzny tego nie mieliśmy, i to nam było potrzebne

paprykarz: Dziękuję. Rozwiązuję dalsze przykłady, i proszę o potwierdzenie, że następujący zrobiłem dobrze: Napisać równanie prostej prostopadłej do płaszczyzny 2x − 3y + z − 3 = 0, przechodzącej przez punkt A(1, 3, −1). Znaleźć punkt przecięcia płaszczyzny i prostej. Równanie kanoniczne: ^x−1₂ = ^y−3₋₃ = ^z+1₁ Równanie parametryczne: x = 1 + 2t y = 3 − 3t z = −1 + 1t I część druga zadania, tj. znalezienie punktu przecięcia płaszczyzny i prostej: P = (x, y, z) = (1+2t, 3−3t, −1+1t) = ? 2(1+2t) − 3(3−3t) + (−1+1t) − 3 = 0 −11 + 14t = 0 t = ¹¹₁₄

paprykarz: I punktem przecięcia jest P(1+2 x ¹¹₁₄, 3−3 x ¹¹₁₄, −1+ ¹¹₁₄) czyli P(¹⁸₇, ¹¹₁₄, ⁻³₁₄) czy tak?

Adamm: równanie parametryczne jest kanoniczne również druga część zadania jest zła tutaj −11+14t=0 <− powinno być −8+14t=0 dalej podstawiasz do swojego punktu

paprykarz: 2(1+2t) − 3(3−3t) + (−1+1t) − 3 = 0 2 + 4t − 9 + 9t − 1 + t − 3 = 0 czyli nie uwzględniamy tego −3 na końcu, jeżeli ma wyjść −8 + 14t = 0?

Adamm: mam również uwagę co do twojego zapisu pierwsza rzecz to 1t nie zapisujemy jedynki, taka jest konwencja druga to (1+2t, 3−3t, −1+t)=? taki zapis nie ma sensu w matematyce jak już musisz to napisz coś w rodzaju "szukane: (1+2t, 3−3t, −1+t)"

Adamm: uwzględniamy, to ja się pomyliłem

paprykarz: Okay, dziękuję. Czyli wyniki punktu przecięcia które napisałem w swoim poście wyszły dobrze, mogę prosić o potwierdzenie?

Adamm: środkowa współrzędna jest źle

	9
powinno być
	14

poza tym jest

paprykarz: Wyznaczyć punkt przebicia płaszczyzny 2x − y + z − 3 = 0 prostą przechodzącą przez punkty P(−1, −2, 3), Q(0, 2, 1). Zrobiłem to w następujący sposób: P(−1, −2, 3), n^→ [2, −1, 1] x = −1 + 2t y = −2 − t z = 3 + t P(x, y, z) = (−1+2t, −2−t, 3+t) 2x − y + z − 3 = 0 2(−1 + 2t) − (−2−t) + (3+t) − 3 = 0 6t = 0 t = 0 P(x, y, z) = (−1+0, −2−0, 3+0) P=(−1, −2, 3) − punkt przebicia płaszczyzny Czy jest to dobre rozwiązanie, czy trzeba zrobić to samo co powyżej zarówno dla punktu P i Q?

jc: Akurat tutaj bym się sprzeczał. x=? bardzo wyraźnie nam mówi, że interesuje nas wartość x. Dużo wyraźniej, niż zdanie: Ile wynosi x? Przy okazji, pokaż mi pracę z matematyki, gdzie liczby porozdzielane są średnikami. Rozumiem,  że średnik ma związek z obowiązującym w Europie przecinkiem dziesiętnym używanym zamiast amerykańskiej kropki. Ale jednak jakoś źle to wygląda.

Adamm: (2,2, 2,3, 2,4) a czy to dobrze wygląda?

Adamm: i dobrze, x=?, można sobie zapisać x − ? ale nie równość przynajmniej takie jest moje zdanie

mr.renault: Tak, wydaje mi sie, ze samo rozwiazanie jest w porzadku. Zaczekaj lepiej na odpowiedz ekspertow. Punkty rozdzielaj srednikami.

paprykarz: Proszę wybaczyć ewentualne błędy w zapisie. Jeśli mógłbym wstawiać zdjęcia z rozwiązań to byłoby to bardziej przejrzyste. Bądź co bądź takie rozwiązanie tego zadania jest w porządku, czy coś jest sknocone?

jc: 2x − y + z − 3 = 0 P=(−1, −2, 3), Q=(0, 2, 1). (x,y,z)=Q+t(P−Q) = (0,2,1) + t(1,4,−2)=(t, 2+4t, 1−2t) 0 = 2t − (2+4t) + (1−2t) − 3 = −4t − 4, t=−1 (x,y,z) = (−1, −2, 3)

jc: Wynik się zgadza, a jednak coś jest źle. Co u Ciebie oznacza n^→[2,−1,1] ?

jc: Czy P(x,y,z)=(x,y,z)?

paprykarz: n^→[2, −1, 1] oznacza u mnie poszczególne punkty x, y oraz z z równania płaszczyzny 2x − 3y + z − 3 = 0. Nie wiedziałem jak to rozwiązać w ogóle dlatego tak to sobie rozpisałem. Dziękuję. Mam tylko pytanie: w jaki sposób odjęto (P − Q), że wyszło (1, 4, −2)?

jc: Teraz ja coś pokręciłem. P=(−1,−2,3) Q=(0,2,1) P−Q=(−1,−2,2) (x,y,z)=Q+t(P−Q) = (−t, 2−2t, 1+2t) Podstawiamy 0=−2t − (2−2t) + (1+2t)+3 = 2t+2, t=−1 (x,y,z) = (1,4,−1)

jc: Błędnie odjęto, czasem się zdarza

paprykarz: A czy P − Q = (−1−0, −2−2, 3−1), czy użyto tutaj innego sposobu i źle myślę?

jc: Dobrze myślisz. Znów źle odjąłem. P−Q=(−1−4,2). Teraz (x,y,z)=(−t,2−4t,1+2t). Podstawiamy 0=2x − y + z − 3=−2t−(2−4t)+(1+2t)−3=4t−4, t=1 (x,y,z)=(−1,−2,3). Jednak za pierwszym razem wynik był dobry (choć w rachunkach był błąd, ale taki bez znaczenia dla wyniku).

paprykarz: To już chyba ostatnie zadanie. Sprawdź, czy proste przecinają się, a jeśli tak, to wyznacz ich punkt przecięcia. ^x₂ = ^y−3₋₁ = ^z₁ oraz ^x−1₂ = ^y+2₁ = ^z₀ Doprowadziłem proste do postaci parametrycznej, w przypadku tej pierwszej: x = 2t y = 3 − t z = t natomiast w przypadku drugiej: x = 1 + 2t y = −2 + t z = 0 Jakie trzeba poczynić następne kroki aby sprawdzić, czy proste te się przecinają? Bo zadanie ze znalezieniem punktu przecięcia płaszczyzny i prostej już tutaj umieszczałem.

jc: Sprawdzasz czy układ 6 równań z 5 niewiadomymi ma rozwiązanie x = 2t y = 3 − t z = t x = 1 + 2s y = −2 + s z = 0 Skoro z=0, to t=0, x=0,y=3. Jeśli x=0, to s=−1/2, ale wtedy y=−3/2 i mamy sprzeczność. Proste nie przecinają się. Mogłeś od razu rozpatrywać układ 4 równań z 3 niewiadomymi (dwa równania kierunkowe).