ekstremum lokalne funckcji a: Cześć, mam pewien problem z zadaniem. Czy funkcja f(x,y)=2xy−2x−4y ma ekstremum lokalne?

Jerzy: Trzeba to sprawdzić.

a: Wiem, tylko nie wiem czy dobrze rozwiązuję zadanie. Po obliczeniu pochodnych cząstkowych, przyrównaniu do zera wyszło mi, że może mieć w punkcie P(2,1). Jak obliczyłam drugie pochodne cząstkowe otrzymałam f''xx i f''yy równe zero, a f''xy i f''yx równe 2. Z tego by mi wyszło, że wyznacznik jest równy 4, czyli może mieć ekstremum. Więc napisałam, żeby sprawdzić, czy to co robię jest dobrze. Ktoś pomoże?

mat: df/dx=2y−2 = 0 −−−> y=1 df/dy=2x−4 = 0 −−>x=2 Jednak w punkcie (x,y)=(2,1) nie będzie ekstremum, bo: −>f(2,1)=4−4−4=−4 −>weźmy jakiś punkt z otoczenia (2+h,1+k) , h,k≈0 f(2+h,1+k)=2(2+h)(1+k)−2(2+h)−4(1+k) =2(2+2k+h+hk)−4−2h−4−4k =4+4k+2h+2hk−4−2h−4−4k =2hk−4 zatem jeżeli h,k>0 i bliskie zeru, to 2hk−4>−4 z kolei jeżeli h>0, k<0 i bliskie zeru, to 2hk−4<−4 czyli w punkcie (2,1) jest siodło

Jack: http://www.wolframalpha.com/input/?i=extrema+of+f(x,y)%3D2xy%E2%88%922x%E2%88%924y nie ma...cóż, biedna funkcja tak na szybko : f_x = 2y − 2 f_y = 2x − 4 {2y−2=0 {2x−4=0 y=1 x=2 P(2,1) f_xx = 0 f_xy = 2 f_yx = 2 f_yy = 0 |0 2| H(2,1) = | | = 0 − 4 = −4 (mniejsze od zera wiec brak ekstremum) |2 2|

Jack: prawy dolny róg wyznacznika oczywiście 0.

jc: f = 2(x−2)(y−1) − 4 nie ma ekstremów.

a: Ajjj, już widzę, gdzie popełniłam błąd. W wyznaczniku na odwrót pochodne postawiłam. Bardzo dziękuję Jack!

Jack: @jc skad wiadomo ze funkcja 2(x−2)(y−1) − 4 nie ma ekstremum?

mat: sprowadzi sie to do tego co ja napisałem wyżej

Jack: takie buty, ok, a jak bysmy mieli funkcje 2(x−2)(y−1) + 3? albo 2(x−2)(y−1) + 0?

mat: tak samo

mat: ta stała na końcu nie ma znaczenia, to tylko na jakiej wysokości jest ekstremum (kształt ten sam) f(x)+a wygląda tak samo jak f(x) //tylko skalowanie góra − dół

jc: Bo to jest siodło (przełęcz). z = 2xy, a jeszcze lepiej, jak obrócisz o 45^o: z = x²−y².