wielomian luka: Niech x⁴+ax³+3x²+bx+1 >= 0 dla kazdego x rzeczywistego Znaleźć maksymalną wartość a²+b². Znam odpowiedz ale nie wiem jak to uzasdnić

loki: jaka odpowiedź?

luka: tzn wydaje mi się że dla a=2 √5 oraz b=−2 √5.

luka: czyli 12

luka: nik nie zna się na wielomianach?

mat: jakie oburzenie, spokojnie dziewczynko!

mat: tak, odpowiedź to będzie 20

luka: chodzi mi bardziej o uzasadnienie czemu

mat: co to znaczy, że wielomian czwartego stopnia nie przyjmuje wartości ujemnych?

luka: nie wiem niestety

mat: zobacz sobie na wzory Ferrari,Δ i takie rzeczy

luka: pierwsze słysze , a skad masz tę 20?

mat: popróbuj sama coś, jak już kompletnie nie wymyslisz, to pomożemy! (ale koniecznie napisz do czego się udało dojść)

luka: Kolega powiedzial mi że max bedzie 12 , ale wiecej nie umiem niestety moge prosić o pomoc

mat: Zauważ, że jeżeli x jest pierwiastkiem, to x jest też pierwiastkiem pochodnej Jestes na studiach?

mat: Jest taki ,,brzydki" wzór na Δ=........... i ma być Δ=0 wtedy

luka: tak to ze studiów

luka: bo mam jeszcze drugie zadanie bardzo podobne Pokaż ze dla x i c>=2 dla x⁴+ax³+cx²+bx+1 >= 0 mamy a²+b² =< 4c

mat: jak sie nazywa przedmiot?

luka: ale mam tylko zrobić tę pierwsze, algebra liniowa z teorią liczb

mat: no to by pasowalo, spróbuj tak jak ci napisalem wyzej, ja na razie lece, jak ci sie nie uda, to popatrze na to potem

luka: Niestety nie wiem nikt nie pomoże

luka: ?

mat: no wpisz w google to co ci napisalem, policz te delte itd... no nie licz tylko, ze ktos napisze gotowca!

luka: ale tego nie było na wykładzie

mat: a co bylo?

5-latek: Pytanie mat Delta ma byc liczona z tego wielomianu stopnia czwartego czy z jego pochodnej?

mat: orginalnego wielomianu

5-latek: Prosba napisz ten wzor bo dla stopnia trzecie mam wzor

mat: wlasnie mi sie nie chce bo jest okropny Quartic function na angieslkiej wikipedii, tam go znajdziesz

Adamm: http://www.math.us.edu.pl/pgladki/faq/node128.html

Adamm: nie jest taki okropny

mat: tylko pozornie jest tutaj króótszy, bo po drodze sie robi podstawienia

Adamm: wiem, wielomian jest w postaci kanonicznej

5-latek: Ło matko i córko

www: cuś za trudne to zadanie .....

mat: może jest jakiś triczek żeby to zrobić łatwiej, ale go nie widze chwilowo

Adamm: 5−latek, pomyśl jaki musi być dla piątego

5-latek: To juz nie na moja glowe

Milo: A czy Galois nie udowodnił, że nie istnieją gotowe wzory na pierwiastki wielomianów stopnia wyższego niż 5? Pytam, bo chyba coś na lekcji słyszałem

Adamm: istnieją wzory, ale nie przez pierwiastniki, czyli podstawowe działania takie jak dodawanie, mnożenie, i pierwiastkowanie liczb naturalnych a wyróżnik wielomianu to co innego

Milo: Okej, muszę o tym poczytać. Dzięki

5-latek: Tak ale dopiero w 1826 roku Niels Henryk Abel oglosil dowod ze pierwiastki rownania stopnia piatego nie dadza sie wyrazic przez pierwiastniki

mat: Tak, wielominay czwartego stopnia są ostatnimi do osiągnięcia tak praktycznie mówiąc

5-latek: Moze PW jest na forum cos wymysli do tego zadania . ja nie potrafie

jc: Dla ustalonego x, punkt (a,b) leży na płaszczyźnie x³ a + x b + x⁴+3x² + 1 = 0, której kwadrat odległości od zera wynosi

	(x4+3x2+1)2
d2 =
	x6+x2

Należy znaleźć najmniejszą wartość tej funkcji. Punkt stacjonarny spełnia równanie x¹²−8x⁸+8^x4−1=0 u=x⁴ u³−8u²+8u−1=(u²−7u+1)(u−1) Wylicz u, następnie x, a na koniec podstaw do d² i wybierz najmniejszą liczbę. Albo poczekaj, aż wrócę z pracy

www: podstaw za a=2√5+c za b=−2√5−d i bedzie prosto

luka: jc wychodzą mi dziwne liczby 2500/47 oraz 12,5

www: wg mnie to bedzie max=40

jc: Wychodzi 12.

jc: Punkty stacjonarne x=1, x²=(3p±√5)/2. Po podstawieniu d²=25/2 lub d⁼12. Mniejszą liczbą jest 12 i to jest odpowiedź.

www: jc a zobacz jeśli a=0 b=√13 co wtedy

jc: Za drugim razem podstawiłem u=x².

www: no i?

jc: Ładnie, zero mamy dla x=0.5. 13 ≥ 12. Nie wychodzi d²=13. Coś gdzieś pomyliłem chyba. Ale 12 wyszło

www: jc ja nadal twierdze ze jest inne maximum

jc: −0.5 oczywiście. Faktycznie można więcej. No to nie wiem

www: cuś trzeba tu innego pokombinowć......

www: wg mnie luka dobrze napisał na początku

mat: Dla y=x⁴+3x³+3x²−3x+1 mamy y≥0 a²+b²=18

luka: mat dla a=2√5 i b=−2√5 mamy 40 i ?

mat: no nic

luka: a co ma znaczyc twoje 18?

mat: tzn tak sie bawiłe, co pasuje.... czasem głośno mysle

www: ja podałem już sposób rozwiązania prawie

Jack: http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E4+%2B+ax%5E3+%2B+3x%5E2+%2B+bx+%2B+1+%3E%3D0,+find+max+(a%5E2%2Bb%5E2) 40 poprawna.

www: napisałem to już, teraz wystarczy udowodnić.....moim sposobem

jc: (x²+kx−1)² = x⁴ + 2kx³ + (k²−2)x²−2kx +1 k²−2=3 dla k=√5. Wtedy 2(2k)² = 8k²=40. Czy można uzyskać więcej?

kazik: Jaki to poziom tego zadania

Dawid: Niech ktoś sprwadzi czy ok x⁴ + (2√5 +c)x³ + 3x² − (2√5+d)x + 1= (x² + √5x − 1)² +cx³−dx

	3 − √5
x1=
	2

cx₁³ − dx₁ >=0

	7−3√5
c		>= d
	2

	−3 − √5
x2=
	2

	7+3√5
c		=< d
	2

więc |a|=<2√5 oraz |b|=<2√5 więć a²+b² =<40

Jack: jc, fajny sposob, to samo wyjdzie dla (x²−kx−1)² czyli 40

jc: Ciągle jednak nie mamy dowodu, że więcej nie można (wpisu z 15:57 nie rozumiem). Myślałem nad czymś takim. Jeśli f(x)≥0, to f(x)=(x²+kx+c)² + (mx+s)². Mamy dodatkowe warunki. c²+s²=1, a= 2k, b=2(ms + kc), 3=m²+k²+2c. I co dalej?

Wojtek: jeśli x⁴ + ax³ + cx² + bx + 1>=0 to max{a²+b²}=8(c+2)

mat: Wygląda aż za dobrze , czemu tak? (Wojtek)

jc: Jak zastąpimy 3 liczbą c ≥ −2, to rozpatrując wielomian (x²+kx+1)² i biorąc k²=2+c, otrzymamy a²+b²=8(3+c). Ale dlaczego więcej nie można i co się dzieje dla c≤−2?

oni: dosc skomplikowany ten problem jest

mat: Może Luka sie odezwie i powie, przy jakiej okazji to było na wykładzie? (jakie twierdzenia itd..)