Wielomian symetryczny 5-latek: Sprawdz e dla k>l jest b(x^ky^l+x^ly^k)= bv^lS_k−1 gdzie u= x+y v=xy b) Udowodnij twterdzenie Dla kazdego n∊N kazdy wielomian symetryczny W_n(x,y) stopnia n mozna przeksztalcic na wielomian P(u,v) gdzie u=x+y i v= xy Zaznaczone jako bardzo trudne zadanie

Adamm: b) pierwsze co by trzeba było udowodnić, to że W_n da się przedstawić w postaci sum wielomianów b(x^ky^l+x^ly^k) drugie, to że S_k−l zawsze da się przedstawić jako funkcję u oraz v po tym korzystamy z a) i już zadanie skończone

5-latek: 3(x⁴y³+x³y⁴)= 3x³y³(x+y) = 3v³*u Zrobilem a) na przykladzie ale to nie dowod nastepnie b) wskazowka jest indukcyjnie (ale nie potrafie tego zrobic

jc: Indukcja ze względu na stopień W. Początek zrób sam. Załóżmy, że dla stopni n i niższych twierdzenie jest prawdziwe. Weźmy wielomian W stopnia n+1. Q(x,y) = W(x,y)−W(x+y,0) jest symetryczny. Q(x,0) = 0 oraz Q(0,y)=0. Dlatego Q(x,y)=xy P(x,y) P jest symetryczny i jest niższego stopnia. P(x,y)=R(u,v) z założenia indukcyjnego. W(x,y) = v R(u,v) + W(u).

5-latek: Dzien dobry jc Wydaje mi sie ze bedzie tak dla n=1 W₁(x,y)= b(x+y)

jc: Pokażę na przykładzie, jak to działa (tak samo jest dla wielomianów 3, 4, ... zmiennych). W = x⁵+y⁵ = (x+y)⁵ − 5xy(x³+2x²y+2xy²+y³) = u⁵ − 5v W₁ W₁ = x³+2x²y+2xy²+y³ = (x+y)³ − xy(x+y) = u³ − vu a więc W = u⁵ − 5v(u³ − vu) = u⁵ − 5u³v + 5uv²