Całka niewłaściwa Artur: Witam, mam problem z takim o to przykładem: oo ∫ 3x / e²x dx 4 Pierw policzyłem całkę nieoznaczoną i wyszedł mi taki o to wynik: −e^−2x( ³₂x + ³₄) Następnie przez granice chcę obliczyć tą całkę tak, więc... : α α lim ∫ 3x / e²x dx = lim −e^−2x( ³₂x + ³₄) | = α→ oo 4 α→ oo 4 Problem następuje w tym momencie: lim −e^−2oo( ³₂oo + ³₄) + e^−2*4( ³₂*4 + ³₄) = { ( 0 * oo ) + e⁻⁸* ²⁷₄ α→ oo I teraz nie mam pojęcia jak poradzić sobie z symbolem nie oznaczonym 0 * oo ... Na wolframie wyliczyło mi, że ta całka powinna wynosić 27/ 4e⁸ czyli jestem blisko rozwiązania jedynie ten symbol nieoznaczony... Ktoś jest w stanie pomóc? Dziękuje z góry

jc: Co to jest 0 * oo ?

Artur: symbol nieoznaczony tak? tak wychodzi z granicy

Artur: oo − nieskonczoność*

jc: ∫3x e^−2x dx = −(3/4) (2x+1) e^−2x e^−2x →0 przy x→∞ x e^−2x →0 przy x→∞ Dlatego ∫₄^∞ 3x e^−2x dx = (3/4)(2*4+1)e^−2*4 = (15/4) e⁻⁸

jc: Pomyłka, powinno być =(27/4)e⁻⁸.

Artur: x e^−2x →0 przy x→∞ Wiem, że to pytanie z granic i powinienem to wiedzieć ale za bardzo nie rozumiem czemu ta granica wynosi 0. Czy mógłbyś to w jakiś sposób wytłumaczyć?

mat: tak trochnie nieformalnie mówiąc, dlateg, ze e^2x duzo szybciej dązy do ∞ niż x. Mozna pokazac np z reguly de L'Hspitala

	x
xe−2x=
	e2x

mat: ogólnie:

wielomian
	→0, gdy x→∞, a>1
ax

Artur: Teraz już rozumiem dziękuje bardzo za poświęcony czas. Pozdrawiam

jc: e^x ≥ 1+x e^x ≥ (e^x/n)ⁿ ≥ (1+x/n)ⁿ dla x≥0. x^k /e^x →0 przy x→∞. Wystarczy wziąć n>k.