Zadanie nr 363 5-latek: Oznaczmy S+k= x^k+y^k gdzie k∊N a)Wyznacz S₃ w zaleznosci od S₂ ,u,v gdzie u=x+y v= xy Wyznacz S₄ w zaleznosci od S₃,S₂ u i v Wyznacz S₅ w zaleznosci od S₄ S₃ S₂ u i v b) dane sa u i v Zbuduj i udowoodnij wzor rekurencyjny dla S_k c) Wyznacz S₁, S₂,S₃,S₄.S₅ w zaleznosci od u i v

Adamm: S_k ?

5-latek: ma byc S_k =

Adamm: czyżby wzory Newtona?

5-latek: Adamm tez tak sobie pomyslaem na razie nie zagladam do odpowiedzi

5-latek: S₂ byloby a²+b² S₃= x³+y³= (x+y)(x²−xy+y² )

Adamm: S_k=x^k+y^k (x+y)(x^k−1+y^k−1)=x^k+y^k+xy^k−1+yx^k−1=S_k+vS_k−2 uS_k−1=S_k+vS_k−2 dla k≥3 i mamy wzór rekurencyjny

Adamm: na wzorze rekurencyjnym właściwie zadanie się kończy, dalej wystarczy go zastosować

5-latek: Dobra to bylby podpunkt b) Wracam do a) Skoro S₂= x²+y² to S₃= S₂*u = x³+y³+x²y+y²x czyli musimy odjac z tego x²y+y²x = (x+y)(xy)= u*v wiec S₃= S₂*u−u*v Teraz nalezaloby znowu pokombinowac z S₄ i S₅

Adamm: S₃=S₂*u <− lepiej nie pisać takich równości, może prowadzić do nieporozumień

5-latek: No tak masz racje

5-latek: Adamm zrobilem to sobie na przykladzie x⁴+y⁴= (x+y)(x³+y³)−x³y−xy³= (x+y)(x³+y³)−x*y(x²+y²)= u*S_k−1−v*S_k−2 czyli do a) S₃= S₂*u−uv S₄= S₃*u−v*S₂ S₅= S₄−v*S₃

Mariusz: http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1109.pdf Te wzory Newtona

5-latek: OK Poczytam o tych wielomianach symetrycznych bo to mnie bardzo nurtuje zwlaszcza gdy mamy 3 elementy

5-latek: Wracam do podpunktu c) S₁= x+y=u S₂= x²+y²= (x+y)²−2xy= u²−2v S₃= x³+y³= (x+y)³−3xy(x+y)= u³−3uv S₄= x⁴+y⁴= (x+y)⁴−4x³y−4xy³−6x²y²= (x+y)⁴−4xy(x²+y²)−6x²y²= u⁴−4vu²−6v² W odpowiedzi mam u⁴−4u²v+2v²

Adamm: ponieważ x²+y²≠u²

Adamm: (x+y)⁴−4xy(x²+y²)−6x²y²=u⁴−4vu²−6v² ta linijka

5-latek: tak to bedzie U⁴−4v*(u²−2v)−6v²= u⁴−4vu²+8v²−6v²= u⁴−4u²v+2v² teraz sie zgadza

5-latek: S₅= x⁵+y⁵= (x+y)⁵−5xy(x³+y³)−10x²y²(x+y)= u⁵−5v(u³−3uv)−10v²u= u⁵−5vu³+15uv²−10v²u= u⁵−5u³v+5uv² Tez mi sie zgadza z odpowiedzia

Adamm: no to jeszcze S₅

5-latek:

Adamm: no i ok tyle, finito

5-latek: Dobrze dzieki