wielomian kam: Pokaż że wszytkie naturalne rozwiązania równania x²+y²+1=3xy są postaci (x,y)=(F_2k−1,F_2k+1), gdzie F_n −liczba Fibonacciego

jc: Problemem nie jest pokazanie, że liczby Fib. spełniają równanie, tylko, że innych dodatnich rozwiązań nie ma. x² − 3yx+ 1+(y²) = 0 to równanie kwadratowe ze względu na x. Ustalmy y. Jeśli x i z są rozwiązaniami, to x+z=3y (wzory Vieta). Wniosek. Jeśli (x,y) jest rozwiązaniem, to (3y−x,y) jest rozwiązaniem. Nasze równanie jest symetryczne, więc (y,3y−x) też jest. (x,y) →(y, 3y−x) (1,1) jest rozwiązaniem (1,1) →(1,2) →(2,5) →(5,13) →... Przekształcenie odwrotne (a,b) →(3a−b, a). (1,1) →(2,1) →(5,2) →... Jak wykorzystać przekształcenie (x,y) →(y, 3y−x), aby pokazać, że innych rozwiązań nie ma? Myślę, że jakoś tak. Gdyby było jakieś rozwiązanie (a,b) takie, że a znalazłoby się pomiędzy naszymi wyrazami (z pierwszego ciągu), to poruszając się do tyłu uzyskalibyśmy rozwiązanie z a leżącym pomiędzy 1 a 2, a takich liczb całkowitych nie ma. Trzeba by tylko dopracować szczegóły.