algebra Kob: Dowód z wielomanów Pokaż że wykres wielomianu P(x) jest symetryczny wzgledem punktu A=(a,b) wtedy i tylko wtedy gdy istnieje wieloman Q(x) taki że P(x) = b + (x−a)Q((x−a)²).

Adamm: załóżmy że zachodzi P(x+a)+P(−x+a)=2b dla x∊ℛ (1) wtedy z (1) dla x=0 mamy P(a)=b więc z twierdzenia Bezout mamy P(x)=b+(x−a)N(x) (2) gdzie N(x) jest wielomianem dalej z (2) mamy P(−x+a)=b−xN(−x+a), P(x+a)=b+xN(x+a) skąd z (1) N(x+a)=N(−x+a), wielomian M(x)=N(x+a) jest zatem parzysty, co się dzieje tylko dla wielomianów postaci a_nx²ⁿ+a_n−1x²ⁿ⁻²+...+a₀ ponieważ możemy zawsze zapisać M(x)=Q(x²)+xL(x²) M(x)=M(−x) ⇒ L(x²)=0 zatem mamy Q(x²)=M(x)=N(x+a) skąd Q((x−a)²)=N(x) P(x)=b+(x−a)Q((x−a)²), więc implikacja w tą stronę zachodzi dalej załóżmy że P(x)=b+(x−a)Q((x−a)²) mamy P(−x+a)=b−xQ(x²) oraz P(x+a)=b+xQ(x²) skąd P(−x+a)+P(x+a)=2b, więc implikacja w drugą stronę również zachodzi więc równoważność, co było do udowodnienia