Pogrom umyslów Master: Znaleźć wszystkie możliwe wartości dla a,b należącego do całkowitych dodatnich b²+ab+4=0(mod a²+ ab+4)

g: na przykład a=1, b=3

Adamm: musi być b≥a i a=b zawsze jest rozwiązaniem to tak ode mnie

jc: Dla a=1 i b>a nietrudno znaleźć wszystkie możliwe b, a mianowicie 3, 7, 19.

Master: Dziękuję bardzo i proszę jeszcze o obliczenia gdyby jakieś były.

jc: Dla a=1 mamy: 5+b | b²+b+4. c=5+b, b=c−5, c>5, c | (c−5)²+(c−5)+4 = ... + 24, c|24, c=8, 12, 24, sprawdzasz. Jeszcze jedno rozwiązanie a=3, b=25. Czy są jeszcze jakie inne rozwiązania z b>a?

Master: Dziękuję ślicznie i to są już wszystkie rozwiązania.

jc: Uzupełnienie. Szukamy takich a,b, że 0<a<b i a²+ab+4 | b²+ab+4. b(a²+ab+4) − a(b²+ab+4) = 4(b−a) Wniosek. (a²+ab+4) | 4(b−a). Stąd ab < 4b, czyli a=1,2,3. Teraz wystarczy przeanalizować 3 przypadki. c = 5+b | 4(b−1) = 4(c−6), c|24, c=8,12,24, b=3,7,19 (faktycznie to rozwiązania) c = 8+2b | 4(b−2) = 2(c−12), c|24, c=24, to nie jest rozwiązanie c = 13+3b | 4(b−3) | 12(b−3) = 4(c−22), c|88, c=44, 66, 88 (rozwiązniem jest tylko 88, b=25) Teraz mamy pewność, że to wszystkie rozwiązania (poza trywialnymi, a=b).