Równanie różniczkowe Student: Jak zacząć rozwiązywanie takiego zadania: Wyznaczyc rozwiązanie zagadnienia: xy*y' −x²−y²=0

Adamm: podziel przez x², podstawienie y=ux

jc: xyy' = x²+y² y' = x/y + y/x nowa funkcja y=xu y'=xu' + u nowe równanie xu' + u = 1/u + u xu' = 1/u Dalej sobie poradzisz.

jc: A może inaczej? (x⁻⁴ y²)' = 2 x⁻⁴ yy' − 4x⁻⁵ u² = (xyy' − 2y²)x⁻⁵ = x⁻³ = − (x⁻²)' /2 x⁻⁴ y² = C − x⁻²/2 y² = Cx⁴ − x²/2

jc: (x⁻⁴ y²)' = 2 x⁻⁴ yy' − 4x⁻⁵ y² = 2(xyy' − 2y²)x⁻⁵ = 2x{−3} = − (x⁻²)' x⁻⁴ y² = C−x⁻² y²=Cx⁴ + x²

Student: Właśnie tu też napotkałem problem.. Mam : u'x=1/u u'=1/ux du/dx=1/ux I co teraz? Mogę całkować?

jc: x u' = 1/u u u' = 1/x Po scałkowaniu u²/2 = C+ln|x|

Student: Rozumiem, dziękuję

jc: Gdzieś jest błąd. Już mam. Powinno być tak: (x⁻² y²)' = 2 x⁻³ y y' − 2x⁻⁴y² = 2x⁻³(xyy' − y²) = 2x⁻³ x² = (2ln|x|)' x² y² = C + 2 ln |x|