Wielomian stopnia czwartego 5-latek: Mam jeszce podobne do ostaniego ale to postarm sie zrobic jutro na dzisiaj ostatnie takie Niby w zbiorku pokazane jako latwe Dane sa liczby a, b, c i d ∊R₊ i wielomian P(x)= x−a)(x−b)(x+c)(x+d) a) czy porzadkujac P(x) mozna otrzymac wielomian o wszystkich wspolczynnikach dodatnich ? Udowodnij na podstawie wzorow Vieta ze liczby a b c d nie spelniaja ukladu nierownosci {a+b<c+d (a+b)(c+d)<ab+cd {(a+b)cd<ab(c+d)

5-latek: Mam w odpowiedzi do a ) ze nie ale dlaczego ? Pierwiastkami tego rownania beda takie x=a x=b x=−c x=−d Po uporzadkowaniu dostalem tak P(x)= x⁴+(−a−b+c+d)x³+(ab−ac−ad−bc−bd+cd)x³+(abc+abd−acd−bdc)x+abcd) Najpierw podpunkt a) do wyjasnienia

5-latek:

5-latek: Co do b) ten uklad nie jest spelniony bo warunki zadania spelnia nstepujacy uklad rownanan {c+d−a−b>0 {ab−ac−ad−bc−bd+cd>0 {abc+abd−acd−bdc>0 czy moze ktos sensownie wytlumaczyc podpunkt a)?

Adamm: jeśli chodzi o punkt a) jeśli a≠b to wybierając za x punkt między a i b, będzie P(x)<0, a ponieważ x>0 to P(x) musi mieć współczynnik ujemny więc musi być a=b

Adamm: co daje nam c+d>2a a²−2a(c+d)+cd>0

	2cd
a2(c+d)−2acd>0 ⇔ a(c+d)−2cd>0 ⇒ a>
	c+d

a²−2a(c+d)+cd>0 Δ=(2(c+d))²−4cd=4c²+4cd+4d² a>c+d+√c²+cd+d² lub a<c+d−√c²+cd+d²

	c+d
ale mamy		>a więc pierwsza nierówność daje sprzeczność
	2

	2cd		c2+d2
c+d−√c2+cd+d2>		⇒		>√c2+cd+d2 ⇒
	c+d		c+d

⇒ (c²+d²)²>(c+d)²(c²+cd+d²)>(c+d)²(c²+d²) ⇒ c²+d²>c²+2cd+d², sprzeczność może do tego można było jakoś prościej dojść

5-latek: Adamm teraz muszse do pracy jechac bede wieczorem i to zobacze W odpowiedzi jest tak Nie. Gdyby eszystkie wspolczynniki byly dodatnie to zadna liczba ddatnia nie moglaby byc ierwastkiem tego wielomianu a zpodanego wzoru winika ze a∊R₊ jest pierwiastkiem Chodzi o to zadna (juz muszs3e spadac bo na 15 muszse byc w pracy