wyznacz zbiór Michał: ∀ n∊N\{0} (1≤x≤⁵_n) gdzie x ∊ R

Adamm: x∊∅

Michał: A można wiedzieć jak to zrobić krok po kroku, i dlaczego akurat zbiór pusty?

Adamm: równanie jest spełnione dla każdego n∊ℕ\{0} zatem również dla n=6 1≤x≤5/6 to tym bardziej 1≤5/6, sprzeczność

Michał: Ok teraz rozumiem, a jak by wyglądało wykonanie takiego zadania gdyby znak ∀ zastapic znakiem ∃?

Adamm:

	5
1≤x≤		≤5
	n

jeśli dla danego x istniałoby takie n∊ℕ\{0} że nierówność zachodzi, to tym bardziej zachodziłoby dla n=1 czyli dla n=1 mamy nierówność najogólniejszą x∊<1; 5>

jc: x=0 spełnia dla każdego n>0 nierówność 0≤x≤2/n. Jest to jedyna taka liczba, a więc szukanym zbiorem jest zbiór {0}.

Adamm: jc z choinki się urwałeś

jc: A co, nie jest tak? Dla jakiego n>0, 5/n < 0?

jc: Po prostu w pierwszym zadaniu mamy {0}, a nie zbiór pusty (x∊R).

Michał: Dzięki, Adamm. Chociaż zastanawia mnie jak mam to zapisać na papierze tak żeby mi to uznali :c A mógłbyś jeszcze pomóc z tym przykładem? ∀ n∊N\{0} (⁻²_n≤x≤0) gdzie x ∊ R

Adamm:

	2
mamy dane x<0 które spełnia równanie −		≤x≤0 dla każdego n
	n

zatem obierając n=E(−2/x)+1 (Ex oznacza część całkowitą, możemy tak obrać ponieważ −2/x>0 a zarazem E(−2/x)≥0, skąd E(−2/x)+1≥1) i wstawiając do nierówności

	2		2
−		≤x, −		≥E(−2/x)+1
	n		x

	2
ale zachodzą nierówności E(−2/x)+1>−		≥E(−2/x) skąd
	x

E(−2/x)+1>E(−2/x)+1, sprzeczność

	2
dla x=0 równość zachodzi, ponieważ mamy −		<0 dla każdego n∊ℕ\{0}
	n

zatem nasz zbiór to {0}

Michał: Dzięki jeszcze raz