zbadaj ekstrema funcji asdf: f(x,y)=(1/2)^{(x2−cos(2x)+cos(3y))} Mam do zbadania ekstrema tej funkcji. Policzyłem pierwsze pochodne cząstkowe, znalazłem punkty podejrzane o bycie ekstremami. Policzyłem właśnie pochodne cząstkowe 2 stopnia i strasznie długie te funkcje wyszły, a jeszcze mam policzyć wyznacznik macierzy złożonej z tych pochodnych. Da się tutaj w jakiś sposób pójść na skróty czy muszę mozolnie wszystko liczyć wg tego ogólnego algorytmu szukania ekstremów f. 2 zmiennych? Zadanie jest z zeszłorocznego egzaminu, a prowadzący jest znany z tego, że rozwiązując jego przykłady najlepiej od razu zacząć pisać na kartce w poprzek

mat: minimum to widać, że nie będzie bo jak x→∞, to f(x,y)→0 ale go nigdy nie osiąga Jezeli o maksima, to szukamy go tam, gdzie potęga będzie możliwie najmniejsza h(x,y)=x²−cos2x+cos3y dh/dx=2x+2sin2x=0 −−> x=−sin2x −−>x=0 dh/dy=−3sin3y=0 −−> sin3y=0 −−> cos3y=1 lub cos3y=−1 (to drugie lepsze) wtedy h(x,y)=−1−1 =−2

	1
więc maksium jest osiągniete i wynosi (		)−2=4
	2

Adamm: myślę że chodzi o ekstrema lokalne mat

asdf: tak tak, chodzi o ekstrema lokalne

mat: zacznij od obserwacji, że

	1		1
f(x,y)=		x2−cos2x*		cos3y
	2		2

jak wyżej sobie napisalismy x=0 oraz cos3y=1 lub cos3y=−1 więc f(0,y)=2*2 lub f(0,y)=2*0.5=1<−−− trzeba sprawdzic czy to jest lokalne minimum (wydaje sie na pierwszy rzut, ze nie)

mat: chociaz... Jak x≈0, ale x≠0, to x²−cos2x>−1 Zobacz co sie dzieje z y, ja juz przestaje myslec ide spac!

asdf: ja podobnie, dlatego was się pytam o pomoc teraz dostałem info, że prawdopodobnie można uprościć taką funkcję ze względu na jej monotoniczność, ale to już oddaję głos mądrzejszym

mat: raczej periodyczność (okresowość) ze względu na y

Adamm: minimum lokalne, czyli taki punkt że f(x₀, y₀)≤f(x, y) dla (x; y) z odpowiednio małego otoczenia (x₀; y₀) i podobnie dla maksimum mamy oczywiście, dla a>1, ze względu na monotoniczność f(x₀, y₀)≤f(x, y) ⇔ a^{f(x₀, y₀)}≤a^{f(x, y)} czyli maksima/minima f(x, y) odpowiadają maksimom/minimom a^{f(x, y)} i oczywiście na odwrót, bo tam jest równoważność więc wystarczy rozpatrywać g(x, y)=−x²+cos(2x)−cos(3y)

asdf: Czyli sprowadza się to do tego, że mając zbadać ekstrema dowolnej funkcji a^f(x,y); e^f(x,y) biorę pod uwagę tylko jej wykładnik i zamieszczam odpowiedni komentarz?

asdf: chodziło mi oczywiście o funkcje a^f(x,y); e^f(x,y)

Adamm: tak, ale tylko żeby a>1, bo dla 1>a>0 maksima zamieniasz w minima i na odwrót

asdf: Rozumiem, wielkie dzięki za pomoc. Teraz widać, że to długie liczenie z mojego przykładu zmienia się w stosunkowo krótkie i przyjemne obliczenia