[PILNE, Algebra liniowa] student: Dana jest rodzina R = { φ_t: V → V}_{t ∊ T} taka, że każde dwa przekształcenia f, g ∊ R spełniają fg = gf (złożenie przekształceń). Wykazać, że istnieje wspólny wektor własny dla wszystkich przekształceń z R.

jc: Powinieneś dodać, że Φ są liniowe. Pokaże dla 2 przekształceń. Dla skończonej rodziny pójdzie tak samo. Dla nieskończonej nie wiem. AB=BA A ma wektor własny v: Av=av, v≠0. Niech W będzie podprzestrzenią V taką, że Aw=aw dla w∊W. Jeśli w ∊ W, to ABw = BAw = Baw = a Bw, co oznacza, że Bw∊W. Rozpatrzy przekształcenie B ograniczone do W. Przekształcenie to ma wektor własny u∊ W: Bu=bu, u≠0. Mamy więc Bu=bu, Au=au, u≠0

student: Ale czemu B|W ma wektor własny? Właśnie tego nie widzę. I nie widzę, jak przejść do większej liczby przekształceń

jc: Nie wiem, jak jest ogólnie, ale w przypadku przestrzeni skończonego wymiaru nad C, każde przekształcenie liniowe W →W ma wektor własny (wielomian charakterystyczny ma co najmniej jeden pierwiastek). Zwróć uwagę, że BW ⊂W.