PIERWIASTEK ROWNANIA 5-latek: Dla jakich wartosci a i b ∊C liczba 1+√3 jest pierwiastkiem rownania 3x³+ax²+bx+12=0 ? Czy tutaj drugim pierwaistkiem bedzie x=1−√3?

Adamm: 3(1+√3)³+a(1+√3)²+b(1+√3)+12=0 3(10+6√3)+a(4+2√3)+b(1+√3)+12=0 mamy wyrażenie m+n√3=0 gdzie m, n są całkowite chyba dosyć oczywiste że zeruje się jedynie dla m=0, n=0 42+4a+b=0 oraz 18+2a+b=0 a=−12, b=6

kochanus_niepospolitus: nie musi być

Adamm: okej, uzasadnienie dlaczego się zeruje tylko dla m=0, n=0, zamiast mówić że to oczywiste suma liczby wymiernej i niewymiernej musi być niewymierna załóżmy że m jest wymierna, r niewymierna, i n wymierna i że mamy m+r=n skąd r=n−m więc r jest wymierna, sprzeczność zatem ponieważ można wykazać że w naszym wyrażeniu n√3 jest wymierna jedynie dla n=0, a jeśli jest niewymierna to po prawej mamy liczbę niewymierną, 0 nie jest niewymierne więc musi być n=0 a zarazem m=0

Adamm: załóżmy że n√3 jest wymierna wtedy n√3=k mamy n=0 lub √3=k/n dla drugiego przypadku mamy sprzeczność bo √3 jest niewymierna

Adamm: w tym przypadku okazało się że 1−√3, 1+√3 oraz 2 są pierwiastkami, więc tak ale nie wiem czy to jest ogólna reguła, że dla wielomianów o współczynnikach wymiernych, jeśli liczba niewymierna jest pierwiastkiem, to również jej sprzężenie

5-latek: Witam i dzieki bardzo

kochanus_niepospolitus: 5−latek ... co Twojego pierwotnego pytania. Przemyślałem trochę i:

	d
Jeżeli wielomian stopnia 3 posiada 3 pierwiastków (mogą być wielokrotne) oraz		nie jest
	a

liczbą niewymierną, to wtedy jeżeli jeden pierwiastek jest postaci 1+√3 to drugi będzie miał postać 1−√3

	d
Wynika to z faktu, że		jest iloczynem 3 kolejnych pierwiastków.
	a

jc: 1−√3 jest pierwiastkiem wielomianu f=(x−1)²−3 = x²−2x−2. Załóżmy teraz, że mamy jakiś wielomian h o współczynnikach wymiernych, którego pierwiastkiem jest 1−√3. h = gf + r Reszta r jest wielomianem co najwyżej 1 stopnia o współczynnikach wymiernych. r(1−√3)=0. Wniosek: r=0, czyli f|h, co oznacza, że jeśli 1−√3 jest pierwiastkiem f to 1+√3 jest pierwiastkiem f.

Adamm: skąd wiemy że r jest wielomianem o współczynnikach wymiernych?

Adamm: ok, już wiem czemu

jc: Miało być: jeśli 1−√3 jest pierwiastkiem h, to 1+√3 jest pierwiastkiem h. Bo że tak jest z f, to oczywiste.