ekstrema funkcji dwóch zmiennych asdf: znaleźć wartość max i min f(x,y)=x²y na zbiorze {(x,y): x²+y²<1} najpierw liczę punkty ekstrem lokalnych wewnątrz tego obszaru, czyli pochodną cząstkową po x i po y. Wychodzi mi, że jest to (0,0). Tutaj już zaczyna się mój problem, gdyż w notatkach kolegi, który był na wykładzie jest zapisane, że jest to punkt (0,y)∊(−1,1). Może ktoś wskazać, jak to ma wyglądać i podpowiedzieć, jak dalej będzie wyglądać rozwiązanie zadania?

mat: punkt (−1,1) nie mze byc bo nie spelnia x²+y²<1

asdf: szczerze mówiąc, to dosyć nieczytelne są te notatki, ale z tego co rozumiem, to punkt jest (0,y), a to że należy do (−1,1) odnosi się już do szukania ekstrem na brzegu tegu obszaru

mat: ja bym zrobil tak: df/dx=2xy df/dy=x² zatem ekstremum (o ile jest) ma współrzędne (0,y), wtedy jednak f(x,y)=0, więc nie licze na granicy (bo zapewne zbior mial byc pstaci x²+y²≤1) −nierownosc slaba x=cosα, y=sinα f(x,y)=cos²α(sinα)=(1−sin²α)sinα i ttuaj szukasz max i min

loki: na jakim brzegu? obszar jest otwarty...

mat: no to nie będzie tam raczej ekstremum, skoro nie ma ,,w środku", to liczy sie na brzegu

mat: jak masz zbiór otwarty, to pytanie jest bez sensu

asdf: więc zapewne miał bym domknięty, tylko uciekła kreska przy pisaniu

mat: no to tak jak napisalem masz funkcje y=(1−sin²α)sinα i szukasz jej ekstremów

mat: czyli y=(1−t²)t, gdzie t∊[−1,1] dy/dt=−2t*t+(1−t²)=1−3t²

	1
dy/dt=0, więc t=+−
	√3

	2		2
czyli y=(1−1/3)1/√3=		max, natomiast −		min
	3√3		3√3

oczywiscie y w tym kontekscie nie ma nic wspolnego z y w funkcji f(x,y)

mat:

	2		2
ostatecznie max f(x,y) =		, min f(x,y) = −
	3√3		3√3

Adamm: ostatecznie podstawienie x=cosα, y=sinα okazało się tak czy siak, niepotrzebne

mat: no tak , ale ideologivznie zeby widziec co sie dzieje

asdf: no to dobrze rozwiązałem, wielkie dzięki za pomoc