moment bezwładności janusz: Obliczyć moment bezwładności względem początku układu współrzędnych dodatniego oktantu wydrążonej kuli o promieniu wewnętrznym 1 i zewnętrznym 2 jeżeli objętościowa gęstość masy w punkcie jest odwrotnością jego odległości od punktu (0,0,0). Jak zapisać taką całkę?

g: Czy chodzi o macierz momentu bezwładności, czy o jedno−liczbowy moment bezwładności wokół konkretnej osi? Macierz liczy się tak: ∫∫∫_v (r²*I − rr^T) ρ dv Moment wokół osi: jeśli osią jest X,Y lub Z, to moment oktantu będzie jedną ósmą momentu całej kuli. Na przykład wokół osi Z:

	1		1		r2−z2
M =		∫∫∫v (x2+y2) ρ dv =		∫∫∫v		dv
	8		8		r2

janusz: czy przypadkiem wokół każdej osi moment nie będzie taki sam? czy mógłbyś mi pokazać jak podstawić takie dane do tej całki?

g: W tym przypadku wokół osi X,Y,Z będzie taki sam, ale wokół innej osi już nie. We współrzędnych sferycznych (r,φ,λ) to by było tak: z = r*sinφ, dv = r*cosφ*dr*dφ*dλ, r od 1 do 2 φ od −π/2 do π/2 λ od 0 do 2π

janusz:

	1
a czy nie powinien gdzieś być warunek ρ =
	√x2+y2+z2

g:

	r2−z2
On tam jest ale się pomyliłem. Masz rację, powinno być
	r

janusz: a skąd tam się bierze (x² + y²)ρ?

jc: Chyba matematyk wymyślił to zadanie.

g: Może trzeba zacząć od tego, że moment bezwładności masy punktowej m odległej od osi o r to M = r²*m. x²+y² to kwadrat odległości od osi Z. ρ*dv to masa elementu objętości dv.

jc: A co to jest moment bezwładności względem punktu? Gdzie znalazłeś takie pojęcie, bo chyba nie u fizyków czy techników, którzy znajdują moment bezwładności względem osi lu ogólniej tensor bezwładności, o czym pisze g.

janusz: bardzo dziękuje g za pomoc jc rzeczywiście matematyk wymyślił to zadanie konkretniej zadanie z egzaminu z analizy