Udowadnianie podzielności przez indukcję matematyczną scorpi: 1) Udowodnij (najlepiej jakby było indukcyjnie), że ∀n ∊ ℕ 3| 7ⁿ − 1 2) Udowodnij (najlepiej jakby było indukcyjnie), że ∀n ∊ ℕ 7| 2ⁿ⁺² + 3²ⁿ⁺¹ Głównie prosiłbym o pomoc w drugim kroku indukcyjnym, gdyż totalnie nie mam pomysłu jak to zrobić. Z góry dzięki

scorpi: Aha i w pierwszym przykładzie można założyć że n ∊ ℕ₊ bo dla 0 pierwszy krok jest nieprawdziwy (chyba błąd w zbiorze jest)

scorpi: pomóżcie proszę

Bogdan: 1. Nie ma błędu. Sprawdzenie dla n 0: 7⁰ − 1 = 1 − 1 = 0, 0 : 3 = 0. Założenie dla n = k: 7^k − 1 = 3a ⇒ 7^k = 3a + 1 Teza dla n = k + 1: 7^{k + 1} − 1 = 7b. Dowód: 7^{k + 1} − 1 = 7^k * 7 − 1 = (3a + 1) * 7 − 1 = 21a + 7 − 1 = 21a + 6 = 3(7a + 2) co należało udowodnić.

scorpi: Ale przecież nie można podzielić czegoś czego nie ma . I dzięki wielkie za pomoc.

Bogdan: Czego nie ma? Jest liczba zero, a zero dzieli się przez 3 na tej samej zasadzie, jak np. 6 dzieli się przez 3, wynikiem dzielenia zera przez 3 jest określona liczba. Mówimy o liczbach, a nie ilościach czegoś, nie można mówić, że zero to nic, czego nie ma, zero to liczba, która po prostu jest.

Vax: 2) 3²ⁿ⁺¹ +2ⁿ⁺² == 3²ⁿ * 3 +2ⁿ⁺² == 2ⁿ*3 + 2ⁿ⁺² == 2ⁿ(3+2²) == 2ⁿ*7 == 0 (mod 7) Pozdrawiam.