szereg janusz: Zbadać zbieżność szeregu oraz wyznaczyć sumę:

	1		x+1
∑		(		)n
	n		x−1

n=1

janusz: Czy takie rozwiązanie przedziału zbieżności jest poprawne? x₀ = −1

	1
obliczam lim n→∞		*n = 1
	n+1

	1
więc r =		= 1
	1

sprawdzam krańce dla x= −1 +1 = 0

	1
∑		*(−1)n
	n

lim a_n = 0 oraz a_n jest nierosnący więc z kryterium Leibniza taki szereg jest zbieżny. dla x=−1 −1=−2

	1		1
∑		*(		)n
	n		3

	1		1		1		1		1		1
lim n→∞ n√an =		*n√		=		* n−		=		e−		ln(n)
	3		n		3		n		3		n

	1		ln(n)		1   n		1
więc lim n→∞ −		*ln(n)=−		→−		=−		→ 0
	n		n		1		n

	1
więc lim n√an →		< 1 więc szereg na tej granicy zbieżny
	3

janusz: na sumę mam taki pomysł: oznaczam jako T(x)

	1		x+1		d
∑		(		)n) = T(x) /
	n		x−1		dx

n=1

	x+1		1		1−x
T'(x) = ∑ (		)n−1 =		=		/ ∫ od 0 do x
	x−1		x+1   1−   x−1		2

x

	1−t		1		1
∫		dt =		(x−		x2)
	2		2		2

0 Czy to poprawne rozwiązania?

janusz:

	1+x		2
T'(x) = ∑(		)n−1 * −
	1−x		(1−x)2

	(1−x)2		1+x
więc −		T'(x) = ∑(		)n−1
	2		1−x

	2		1		1
T(x) = −		*		(x−		x2)
	(1−x)2		2		2

jc:

	1+x
u =
	1−x

f(u) = −u+u²/2−u³/3+u⁴/4 − ... f(0) = 0 f'(u) = −1 + u − u² + u³ − ... = − 1/(1+u) f(u) = − ln(1+u) Szereg zbieżny dla u ∊ (−1,1]

	1+x		1−x
Suma z zadania = − ln [1+		] = ln
	1−x		2

	1+x
Suma zbieżna o ile		∊ (−1,1]
	1−x