Funkcja dwoch zmiennych janusz:

	xy(x−y)
Jak sprawdzic rozniczkowalnosc takiej funkcjI:		dla (x,y)≠0 za pomoca
	x2+y2

wzoru:

	Δf   Δf   f(x0)+h,y0+k)−f(x0,y0)− (x0,y0)*h− (x0,y0)*k   Δx   Δy
lim (h,k)−>(0,0)=
	√h2+k2

karty do gry : Wartość w (0,0) ? Poza punktem (0,0) nawet nie ma co badać. Pochodne cząstkowe będą funkcjami ciągłymi, więc funkcja będzie różniczkowalna. Jeżeli już badać różniczkowalność to właśnie w punkcie (0,0) Licz gradient w tym punkcie a potem podstawiaj do wzoru.

janusz: tak 0 dla (x,y)=0, jak mam policzyc ten gradient?

karty do gry : gradient to wektor złożony z pochodnych cząstkowych który reprezentuje najszybszy wzrost funkcji. wiec gradient w (0,0) to będzie wektor : (f_x (0,0,) , f_y(0,0)) Czyli z definicji : f_x(0,0) = f_(1,0)(0,0) − pochodna kierunkowa w kierunku wektora (1,0)

	f(t,0) − f(0,0)
fx(0,0) = limt → 0		= ...
	t

janusz:

	(0+t)0((0+t−0
=lim t−>0		tak? co dalej?
	(0+t)2+02

janusz: zapomnialem zamknac nawias w liczniku po t i po 0

karty do gry : Wylicz ją. Nie musisz się bać liczenia. Jak już dostaniesz wynik liczysz f_y(0,0) jako pochodna kierunkową w kierunku wektora (0,1)

janusz: Obie wychodza zero, jednak nadal niewiem co dalej z tym zrobic?

karty do gry : Teraz wstawiasz do wzoru na różniczkowalność.

	f(h1,h2) − f(0,0) − <grad(0,0),(h1,h2)>
limh1,h2→0		=
	√h12 + h22

	f(h1,h2)−0−fx(0,0)*h1−fy(0,0)*h2
= limh1,h2 →0		=
	√h12 + h22

	f(h1 , h2)
= lim(h1 , h2) → (0,0)
	√h12 + h22

i jeżeli ta granica wyjdzie 0 to funkcja jest różniczkowalna.

janusz: Przy tym ostatniej granicy w liczniku wstawiam do funkcji za x 0 i za y 0? A w mianowniku? Tez 0?

karty do gry : za x podstawiasz h₁ , za y podstawiasz h₂ i pytasz się jaka będzie wartość wyrażenia gdy h₁ , h₂ będą dążył do 0.

janusz: Czyli zeby ta granica wyszla 0 to h1 i h2 musza byc =0 ale przy zalozeniu ze mianownik >0 to funkcja nie bedzie rozniczkowalna tak?

karty do gry : Niezbyt rozumiem o co Ci teraz chodzi. h₁ , h₂ są tak bliskie 0 jak tylko chcesz ale nie mogą być równe 0 (jednocześnie) Po rozpisaniu funkcji dla h₁ , h₂ masz dwie opcje 1. Albo decydujesz się szacować aby pokazać, że ta granica jest 0 2. Albo starasz się uzasadnić, ze granica nie może być 0 (np za pomocą podania dwóch ciągów).

janusz: Dziekuje to mi bardzo pomoglo