liczba niewymierna 5-latek: Dostalem od Adamma takie zadanie i szczerze powiem nie wiem jak to zrobic Wykazac za pomoca wielomianu ze liczba √3−√2 jest niewymierna Nie wiem jaki tutaj wielomian zastosowac .

5-latek: Ktos napisze ? Wezme sie wtedy za inne zadania .

Mariusz: x₁=√3−√2 x₂=√3+√2 x₁+x₂=2√3 x₁x₂=1 x²−2√3x+1=0 (x²−2√3x+1)(x²+2√3x+1)=0 (x²+1)²−12x²=0 x⁴+2x²+1−12x²=0 x⁴−10x²+1=0 Sprawdź całkowite pierwiastki tego wielomianu

Krzysiek: W(x)=(x−(√3−√2))(x+√3−√2)=x²−(√3−√2)²=x²−5+2√6 G(x)=(x²−5+2√6)(x²−5−2√6)=(x²−5)²−24=x⁴−10x²+1

5-latek: Pytanie Dlaczego sprowadzacie to do wielomianu stopnia czwartego?

5-latek: czy dlatego ze taki wielomian musi miec wspolczynniki calkowite ?

jc: Bo x=√3−√2 nie jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach wymiernych (całkowitych) niższego stopnia. Można jeszcze tak: x=√3−√2 x²=5−2√6 (x²−5)² = 24 x⁴ − 10 x²+ 1 = 0

Krzysiek: tworzysz sobie taki wielomian o współczynnikach całkowitych, który jako jeden z pierwiastków ma √3−√2 następnie korzystasz z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu i dowodzisz że ten wielomian nie ma pierwiastków wymiernych

Saizou : Nie jest koniecznie sprowadzanie do wielomianu akurat 4 stopnia, można do wyższych stopni, ale po co sobie komplikować. Poszukujemy takiego wielomianu o współczynnikach całkowitych, aby liczba √3−√2 była jego miejscem zerowych (co ładnie rozpisał jc) I teraz korzystasz w twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych.

5-latek: Czyli dobrze myslalem ze taki wielomian musi miec wspolczynniki calkowite Ale wezmy taki przykald mamy wykazac za pomoca wielomianu z e√2 jest liczba niewymierna wiec x=√2 x²=2 wiec x²−2=0 i tutaj pierwiastmami wymiernymi sa +1 −1 +2 −2 i dla tych dzielnikow Wx)= x²−2 ≠0 wiec √2 jest liczba niewymierna

5-latek: WItam

Saizou :