udowodnij że Delfinka: Witajcie, Chciałam prosić o pomoc z następującymi zadaniami: 1. Wykaż że jeśli liczba naturalna jest podzielna przez 4 to: a) 10 |2²ⁿ+2³ * 2ⁿ +2⁴ b)100|4ⁿ +2ⁿ⁺³ + 4² c)100|9ⁿ + 2 * 3ⁿ⁺² + 81 Podstawiając n=4k, doszłam w a i b do momentu (16^k + 4)² , a w podpunkcie c (81^k+9)² i gdzieś znalazłam podobne dowody ale z indukcją a muszę to zrobić bez. 2. Wykaż że ∀ a,b,c,d ∊ R⁺ : ^a2_b + ^c2_d ≥ ^(a+c)2_b+d próbowałam to przenosić , sprowadzać do wspólnego mianownika ale do niczego to nie doprowadziło. Z góry dziękuję

Adamm: a możesz z dwumianem Newtona? jeśli tak, to po prostu dla a) oraz b) rozpisz sobie (10+6)^k a dla c) rozpisz sobie (80+1)^k

jc: Wypukłość funkcji f(x)=x². p = b/(b+d), q=d/(b+d), p+q=1, p, q >0, x= a/b, y=c/d p f(x) + q f(y) ≥ f(px + qy) to jest właśnie nierówność (2).

jc: Jeśli p+q=1, p, q ≥ 0, to (px+qy)² ≤ (px+qy)² + pq(x−y)² = px²+qy²

Delfinka: To są zadania z pierwszej klasy liceum. Muszę sprawdzian z dowodów napisać. Adamm dziękuję, spróbuję z tym pokombinować jc dziękuję ale nie rozumiem, nie było jeszcze wypukłości funkcji

Adamm: wypukłość raczej dopiero na studiach, ale warto zrozumieć o co chodzi

Delfinka: jasne że warto zrozumieć, ale potrzebuję pomocy na moim poziomie a później mogę coś dodatkowego działać. Dwumianu Newtona w sumie też nie było ale jego predzej ogarnę choć też nie do końca rozumiem uzasadnienie

Michał: 1) nie mozesz indukcyjnie, byloby izi

Michał: sprawdzam − np, dla n= 1 czy jest podzielne przez 10 Zał:10|2^2k+2³*2^k+2⁴ Teza:10| 2^2k+2+2³*2^k+1+2⁴ Dowód tezy: 2^2k*2²+2³*2^k*2+2⁴ = 2²(2^2k +2²*2^k + 2²) = 2²(2^2k +(2³−2)*2^k + 2²) 2²(2^2k +2³*2^k−2*2^k + 2²) = 2²(2^2k +2³*2 + 2² −2*2^k)= ....

Delfinka: wiem bo gdzieś znalazłam podobny dowód ale my indukcji nie przerabialiśmy wcale więc wszystko co o niej wiem to tyle co sobie poczytałam

Michał: a znasz może dowody przez drzewka semantyczne?

jc: (a+c)² ≤ (a+c)² + bd(a/b − c/d)² = (a² + 2ac + c²) + (d a²/b − 2ac + b c²/d) = (b+d)(a²/b + c²/d) Dzielisz obie strony przez b+d i masz swoją nierówność. −−− A o wypukłości mało kto słyszy w szkole lub na studiach, choć to bardzo pomocne pojęcie. Podobnie jest relacją przystawania modulo. O tym akurat niektórzy wiedzą, a inni się boją. Za to zupełnie niepotrzebnie uczy się innych rzeczy i są potem problemy.