Równanie Bernoulliego LOLOLO: Wyznacz rozwiązanie ogólne równania y'−^y₃=¹_3y² Wychodzi mi, że u'−u=0 może ktoś sprawdzić czy dobrze?

LOLOLO: y'−y/3=1/3y²

Mariusz: Chcesz je rozwiązywać jak Bernoulliego czy sposób masz narzucony bo jest to równanie o rozdzielonych zmiennych

	1		1	1
y'=(		y−			)
	3		3	y2

	1		1
y'=		(y−		)
	3		y2

	y3−1
3y'=
	y2

3y2
	y'=1
y3−1

3y2
	dy=dx
y3−1

ln|y³−1|=x+C₁ y³−1=Ce^x y³=1+Ce^x

Mariusz: Pomyliłem znak ale i tak wygodniej jest rozdzielić zmienne

Mariusz: Jeśli musisz rozwiązywać jak Bernoulliego to 3y²y'−y³=1 u=y³ u'=3y²y' u'−u=1 u'−u=0 u'=u

du
	=dx
u

ln|u|=x+C₁ u=C₂e^x u(x)=C₂(x)e^x C₂'(x)e^x+C₂(x)e^x−C₂(x)e^x=1 C₂'(x)e^x=1 C₂'(x)=e^−x C₂(x)=−e^−x+C u(x)=(−e^−x+C)e^x u(x)=−1+Ce^x y³=−1+Ce^x

LOLOLO: Dzięki a po czym rozpoznać, że równanie jest Bernoulliego?

Mariusz: Można zapisać w postaci y'+p(x)y=q(x)y^r albo x'=p(y)x=q(y)x^r Jeżeli r=1 to równanie Bernoulliego redukuje się do równania liniowego jednorodnego pierwszego rzędu w którym można rozdzielić zmienne Jeżeli r=0 to równanie Bernoulliego redukuje się do równania liniowego niejednorodnego pierwszego rzędu Jeżeli p(x)=const oraz q(x)=const to w równaniu Bernoulliego można rozdzielić zmienne