Całkowanie D.: Od godziny męczę się z jedną całką.... Nie wiem jak ją rozpracować..... ∫dx/(x⁴+x²). Czy ktoś ma jakis pomysł

Jerzy:

	1		1
= ∫		dx − ∫		dx
	x2		1 + x2

Adamm: x⁴+x²=x²(x²+1)

1		A		B
	=		+
x4+x2		x2		x2+1

1=Ax²+A+Bx² A+B=0, A=1

1		1		1
	=		−
x4+x2		x2		x2+1

całki bardzo łatwe do policzenia

Jerzy:

	1
= −		− arctgx + C
	x

jc: Zastosować ogólny schemat.

1		1		1
	=		= {1}{x2} −
x4+x2		x2(x2+1)		x2+1

Dodam, że 1/x² = x⁻². Wynik sam zapisz.

D.: A jakąś metodą typu całkowanie przez części albo przez podstawianie?

Jerzy: Nie w tej całce.

D.: Wynikiem będzie ? −1/x−arctgx+C?

Jerzy: Patrz 13:22

D.: Wlasnie tak zrobilem

Jerzy: No i OK.

D.: ale to poprawny wynik? Wolfram pokazuje cos innego

Adamm: to jest poprawny wynik każdy kto wie cokolwiek na temat całek nieoznaczonych powinien wiedzieć że to zbiór funkcji, a nie konkretna funkcja, więc mogą różnić się o stałą

Jerzy: A co Ci pokazuje wolfram ?

Adamm: zresztą, wolfram pokazuje dokładnie to samo

D.: (xtan⁽⁻¹⁾(x)+1)/x to jest to samo?

Benny: Jeśli jest minus przed nawiasem to tak.

D.: Tak, jest można wytłumaczyć dlaczego? @Adamm za Twoje komentarze podziękuję

Benny: tan⁻¹x≡arctgx

D.: Dziękuję bardzo, przeoczyłem to

Adamm: nawet nie miałem zamiaru ci odpowiadać nie mam takiego obowiązku

jc: Adamm, proponuję Ci coś nowego.

1		1		q−p
	−		=
x+p		x+q		(x+p)(x+q)

	1		1		1		1
Dlatego np.		=		(		−		), bez tych A, B.
	(x+3)(x+8)		5		x+3		x+8

Inny przykład.

1		1		1		1		1		1		1
	=		(		−		) =		−		+
x2(x+3)		3x		x		x+3		3x2		9x		9(x+3)

Mariusz: ∫dx/(x4+x2).

	dx		dx
∫		=∫
	x4+x2		x2(x2+1)

	1
t=
	x

	1
dt=−		dx
	x2

	dt
=−∫
	1   +1 t2

	t2
=−∫		dt
	1+t2

	dt
=−∫dt+∫
	1+t2

=−t+arctan(t)+C₁

	1		1
=−		+arctan(		)+C1
	x		x

	1
=−		−arctan(x)+C
	x

jc: Czyli można inaczej