wielomiany symetryczne 5-latek: Wyznacz tak liczbe n, n∊N aby wielomian w(x,y)= 2x⁴+3x³y+nx²y²+3xy³+2y⁴ mozna bylo rozlozyc na iloczyn dwoch wielomianow symetrycznych P(x,y) i Q(x,y) o wspolczynnikach calkowityxh Wskazowka Zbadaj przypadki st. P(x,y)=1 st.P(x,y)=2

Adamm: 1. st. P(x,y)=1 P(x, y)=ax+ay Q(x, y)=bx³+cx²y+cxy²+by³ w(x, y)=P(x, y)Q(x, y) skąd ab=2, ac=3, 2ac=n skąd n=6 drugi przypadek ty

Adamm: ab=2, ab+ac=3, 2ac=n ac=1, n=2 a=±1, b=±2, c=±1 lekka pomyłka

5-latek: To ze P(x)= ax+ay to rozumiem Jak wyliczyles Q(x)?

Adamm: po prostu napisałem jakiś wielomian 3 stopnia, tak wydawał się ok

Adamm: taki

5-latek: na razie mysle nad tym . Zaraz to bede liczyl .

LWG: Proszę o odpowiedź. Proszę mi pomóc to sprawdzić, tzn. czy istnieje taki przykład? Czy istnieje liczba nieparzysta n>2 taka, że x²+y²=(zⁿ)², gdzie liczby x,y,zⁿ są parami względnie pierwsze? Przepraszam. Nie rozwiązuję innych zadań. Życzę dobrego zdrowia i dużo pieniążków.

5-latek: Bo tak skoro to jest wielomian symetryczny to W(x)= ax⁴+bx³y +cx²y²+bxy³+ay⁴ ( tak ogolnie W(x)= P(x)*Q(x) Skoro P(x,y)= ax+ay to Q(x) = mam podzielic W(x) przez P(x) ? tak ?

Adamm: może tak W(x, 0)=2x⁴ P(x, 0)Q(x, 0)=2x⁴ P(x, 0)=2x lub P(x, 0)=x P(x, y)=2x+2y lub P(x, 0)=x+y może być?

LWG: Sorry.

Adamm: czekaj, odpocznę chwilę i ci to zrobię

Adamm: skoro W(x, 0)=2x⁴ to P(x, 0)=2x lub P(x, 0)=x w każdym razie, P(x, y)=a(x+y) wtedy P(1, −1)=0 zatem W(1, −1)=0 skąd n=2 ale wtedy W(x, y)=2x⁴+3x³y+2x²y²+3xy³+2y⁴=x²(2x²+3xy+y²)+y²(2y²+3xy+x²)= =x²(x+y)(y+2x)+y²(x+y)(x+2y)=(x+y)(2x³+x²y+xy²+2y³) co spełnia oczywiście warunki zatem mamy n=2 dla stp. P(x, y)=1

Adamm: teraz stp. P(x, y) = 2 W(x, 0)=2x⁴ stąd P(x, 0)=2x² lub P(x, 0)=x² skąd P(x, y)=2x²+axy+2y² lub P(x, y)=x²+axy+y² P(1, i)=ai, W(1, i)=4−n skąd n=4 oraz a=0 w(x, y)=2x⁴+3x³y+4x²y²+3xy³+2y⁴=2(x²+y²)²+3xy(x²+y²)= =(x²+y²)(2x²+3xy+2y²) więc mamy n=4 dla stp. P(x, y) = 2

5-latek: Dzieki za pomoc . Zaraz to sobie przeanalizuje .

Adamm: z tym stp. P(x, y) = 2 się pomyliłem P(1, i)=ai oraz Q(1, i)=bi oraz W(1, i)=4−n ale w każdym razie, nie oznacza to że n=4 oraz a=0 P(x, y)=x²+axy+y² oraz Q(x, y)=2x²+bxy+2y² teraz trzeba wymnożyć, inaczej chyba nie można (x²+axy+y²)(2x²+bxy+2y²) 2a+b=3 ab+4=n 3a−2a²+4=n 3a−2a²+4>0 a=0 lub a=1 lub a=2 dla a=0 już mamy dla a=1 mamy b=1, n=5 dla a=2 mamy b=−1, n=2 teraz powinno być ok

5-latek: dla stopnia drugiego mam n=4 n=5 n=2 w odpowiedzi

Adamm: jakbyś znalazł błąd, lub czegoś nie rozumiał, to mów

5-latek: Adamm probowalem to zrobic tak stP(x,y))= 2 to co probowales mi pokazac na poczatku dla stP(x,y))=1 wtedy mam P(x,y)= ax²+bxy+ay² ⇒Q(x,y))=jakies cx²+dxy+cy² Wtedy W(x,y)= P(x,y)*Q(x.y) = bylo duzo mnozenia dostalem W(x)= acx⁴+(ad+bc)x³y+(2ac+bd)x²y²+(ad+bc)xy³+acy⁴ Z tego wymnozenia mam ze {a*c=2 {a*d+b*c=3 {2a*c+b*d=n Teraz musimy rozwiazac ten uklad rownan wiec skoro a*c=2 to a=2 i c=1 lub a=1 i c=2 lub a=−1 i c=−2 lub a=−2 i c=−1 Rozpatruje sobie a=2 i c=1 mam wtedy {2d+b=3 {4+bd=n b=3−2d z tego mam −2d²+3d+4>0 bo n>0 musi byc ta nierownosc jest spelniona dla d=0 lud d=1 lub d=2 1)dla d=0 b=3 i n=4 2)dla d=1 b=1 i n= 5 3)dla d=2 b= −1 i n= 2 1) W(x,y))= (2x²+3xy+2y²)(x²+y²) 2) W(x,y)= (2x²+xy+2y²)(x²+xy+y²) 3) W(x,y)= (2x²−xy+2y²)(x²+2xy+y²) Jeszcze by nalezalo rozpatrzyc te pozostale 3 przypadki czy tak bedzie dobrze ?

Adamm: będzie ok, ale zauważ że te 3 pozostałe przypadki to to samo drugi to jedynie przestawienie P oraz Q, a trzeci oraz czwarty to przemnożenie przez −1

5-latek: Dzieki bardzo za okazana pomoc Bylo to Adamm zadanie maturalne . Ciezkie ono bylo .

Adamm: to jest stare zadanie? czy jakieś zagraniczne?

5-latek: Stare zadanie ze zbioru zadan z 1973r

Adamm: ok masz rację, było trudne ale przynajmniej nauczyłem się jak sobie z takimi na przyszłość radzić