macierze student: Badać, czy macierz A jest podobna do macierzy diagonalnej. Jeśli tak, to wyznaczyć macierz nieosobliwą P i diagonalną D, dla których zachodzi związek P⁻¹AP=D. |−3 −6 7| A=|1 1 −1| |−4 −6 8|

jc: A jest podobna do macierzy diagonalnej ⇔ wielomian minimalny A nie ma pierwiastków wielokrotnych. Proponuję zacząć od wyliczenia wielomianu charakterystycznego. Jeśli będzie miał 3 różne pierwiastki, to znajdujesz wartości własne, itd. Napisz, jak jest. Jeśli będą pierwiastki wielokrotne, to napiszę co dalej.

student: |−3−x −6 7| det(A−Ix)=|1 1−x −1|=^(k1+k3)= |−4 −6 8−x| |4−x −6 7| =|0 1−x −1|=^w1−w3= |4−x −6 8−x| |0 0 −1+x| =|0 1−x −1|= |4−x −6 8−x| =(x−4)(x−1)(x−1) x₁=4 x₂=1 k=1 k=2 zatem macierz nie jest podobna do macierzy diagonalnej jc co będzie jeśli będę miał macierz która jest podobna do macierzy diagonalnej? jak postępuje w dalszej części zadania?

jc: Skąd wniosek, że nie jest podobna do diagonalnej? Sprawdź rachunek. Przy x³ powinien stać minus.

student: jc nie widzę błędu w obliczeniach

student: =(4−x)*(−1)³⁺¹*(1−x)(−1+x)

jc: Prawie dobrze. Powinno wyjść −(x−1)²(x−4). Sprawdź teraz, czy (A−I)(A−4I)=0? Jeśli tak, to pracujemy dalej.

student: wyszło 0 i chyba nie ma sensu aby to tu przepisywać

jc: Nie wychodzi zero, więc A nie jest podobna do macierzy diagonalnej. Sprawdź bo może coś pomyliłem w rachunkach.

jc: A²−5A+4I = 0?

student: sorki to wyznacznik z tego jest zero wynik |−6 0 6| |−3 0 3| |−6 0 6|

student: jak postępujemy w dalszej części zadania gdy wyjdzie 0?

jc: Skoro nie wyszło zero, to nie możemy zdiagonalizować. Gdyby wyszło zero, to złożylibyśmy bazę z wektorów własnych. Tylko, że dla podwójnego pierwiastka mielibyśmy przestrzeń 2−wymiarową (trzeba by znaleźć 2 wektory bazowe).

student: bardzo dziękuję jc

LWG: Rozwiąż równanie w l. naturalnych: zⁿ=u²+v², gdzie nieparzysty n>2 i z jest nieparzytsta i NWD(u,v)=1. Proszę o odpowiedź. Proszę mi pomóc to sprawdzić, tzn. czy istnieje taki przykład? Czy istnieje liczba nieparzysta n>2 taka, że x²+y²=(zⁿ)², gdzie liczby x,y,zⁿ są parami względnie pierwsze? Przepraszam. Nie rozwiązuję innych zadań. Życzę dobrego zdrowia i dużo pieniążków.