wzor dwumianowy

wzor dwumianowy marta: a)Udowodnij wzór dwumianowy b)Podaj algebraiczny dowód równości (ⁿ⁺¹_r)=(ⁿ_r−1)+(ⁿ_r)

13 cze 21:10

Mila: rozpisz z definicji symbolu Newtona:

13 cze 22:03

Adamm:

n
0

n
1

n
n

(a+b)n=

an+

an−1b+...+

bn

1
0

1
1

dla n=1 mamy (a+b)1=a+b oraz 

a+

b=a+b

wzór zachodzi dla n=1

n
0

n
1

n
n

zakładając że dla n mamy (a+b)n=

an+

an−1b+...+

bn

n
0

n
1

n
n

dla n+1 mamy (a+b)n+1=(a+b)(

an+

an−1b+...+

bn)

n
0

n
1

n
n

=(

an+1+

anb+...+

abn)+

n
0

n
1

n
n

+(

anb+

an−1b2+...+

bn+1)=

n
0

n
1

n
0

n
2

n
1

n
n

=

an+1+(

+

)anb+(

+

)an−1b2+...+

bn+1

n
0

n+1
0

n
n

n+1
n+1

korzystając z tożsamości 

=

 oraz 

=

 oraz

n
k

n
k−1

n+1
k

+

=

 dostajemy 

n+1
0

n+1
1

n+1
n+1

(a+b)n+1=

an+1+

anb+...+

bn+1

więc przez indukcję równość zachodzi dla każdego n≥1

13 cze 23:14