Szeregi Kora:

	1
∑
	(3n−2)(3n+1)

I zbadać zbieżność lub rozbieżność pomijając początkowe szczególy z kryterium d alamberta wyszło 1, więc odpada. Chcę to zrobić k. porównawczym i tak patrzę, zbiega do nieskończoności czyli zbiega mianownik do zera? Szukać możlwiości rozbieżności w takim wypadku patrząc na to jak na szereg harmoniczny i biorąc

1
	?
(3n−n)(3n+n)

jc:

1		1		1		1
	=		(		−		)
(3n−2)(3n+1)		3		3n−2		3n+1

S₄ = [ (1−1/4) + (1/4−1/7) + (1/7−1/10) + (1/10−1/13)]/3 = (1 − 1/13)/3

	1		1		1
Ogólnie Sn =		(1 −		) →
	3		3n+1		3

Szereg zbieżny i nawet znamy jego sumę.

kochanus_niepospolitus: z porównawczego:

	1		1		1		1		1
∑		≤ ∑		≤ a + ∑		= a +		∑
	(3n−2)(3n+1)		(2n)*(3n+1)		(2n)*(3n)		6		n2

	1		1
gdzie a =		=
	(3−2)*(3+1)		4

wykażemy, że: 3n−2 ≥ 2n dla n∊≥2 ∧ n∊N₊ 3n − 2n ≥ 2 n ≥ 2

jc: Skąd wiemy, że suma pierwszego szeregu jest mniejsza od sumy drugiego szeregu skoro nawet nie wiemy, że sumy te istnieją. Chcesz zapewne skorzystać z kryterium porównawczego. Spójrz jak jest sformułowane.

Kora: Hmm, a to jaki jest najlepszy sposób stwierdzenia czy jest rozbieżny czy zbieżny? Policzyć jego sumę ? Dajcie proszę jakąś poradę . Oraz inne pytanie, czy jest inne dobre kryterium do tego zadania?

jc: Stosować kryterium porównawcze. W tym zadaniu wyjątkowo dało się policzyć sumę. 0 ≤ a_n ≤ b_n począwszy od pewnego n. Jeśli szereg ∑b_n jest zbieżny, to szereg ∑a_n jest zbieżny.

Adamm: lub, po prostu |a_n|≤b_n jeśli ∑b_n jest zbieżny, to ∑a_n jest zbieżny (bezwzględnie)

jc: Można i tak, choć można po prostu pamiętać, że jeśli ∑|a_n| jest zbieżny, to szereg ∑a_n jest zbieżny. Spróbuj uzasadnić.

Adamm: można to udowodnić w ten sposób niech s_n będzie ciągiem sum częściowych szeregu ∑a_n na to by ciąg ten miał granice, potrzeba i wystarcza by dla każdego danego ε istniało takie μ że |s_n+k−s_n|<ε dla n>μ dla k=1, 2, ... stąd wynika że dla każdego szeregu, by był zbieżny, musi zachodzić |a_n+1+a_n+2+...+a_n+k|<ε dla n>μ dla k=1, 2, ... jeśli ∑|a_n| jest zbieżny to zachodzi |a_n+1|+|a_n+2|+...+|a_n+k|<ε dla n>μ dla k=1, 2, ... a tym bardziej |a_n+1+a_n+2+...+a_n+k|<ε dla n>μ dla k=1, 2, ...

Adamm: no i nie tylko musi, ale po prostu jest równoważna zbieżności tego szeregu

jc: O.K. (ciąg Cauchy'ego jest zbieżny).