Wyznacz jądro i obraz Dede: Wyznacz jądro i obraz przekształcenia: L⁴ −>R² L(x, y, z, t) = (x + y + z + t, 2x − 2y) Wstawiam w macierz i nie wychodzi mi

Pytający: https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cbg_white%20%5Clarge%20%5Cleft%20%5B%20%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7D%201%20%26%200%20%26%200%20%26%200%5C%5C%200%20%26%201%20%26%200%20%26%200%5C%5C%200%20%26%200%20%26%201%20%26%200%5C%5C%200%20%26%200%20%26%200%20%26%201%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%7C%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%201%20%26%202%5C%5C%201%20%26%20-2%5C%5C%201%20%26%200%5C%5C%201%20%26%200%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%20%5D%20%5Coverset%7BW_1-W_3%7D%7B%5Coverset%7BW_2-W_3%7D%7B%5Coverset%7BW_4-W_3%7D%7B%5Crightarrow%7D%7D%7D%20%5Cleft%20%5B%20%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7D%201%20%26%200%20%26%20-1%20%26%200%5C%5C%200%20%26%201%20%26%20-1%20%26%200%5C%5C%200%20%26%200%20%26%201%20%26%200%5C%5C%200%20%26%200%20%26%20-1%20%26%201%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%7C%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%200%20%26%202%5C%5C%200%20%26%20-2%5C%5C%201%20%26%200%5C%5C%200%20%26%200%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%20%5D%20%5Coverset%7BW_2+W_1%7D%7B%5Crightarrow%7D%20%5Cleft%20%5B%20%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7D%201%20%26%200%20%26%20-1%20%26%200%5C%5C%20%5Ccolor%7BBlue%7D%201%20%26%20%5Ccolor%7BBlue%7D1%20%26%20%5Ccolor%7BBlue%7D-2%20%26%20%5Ccolor%7BBlue%7D0%5C%5C%200%20%26%200%20%26%201%20%26%200%5C%5C%20%5Ccolor%7BBlue%7D0%20%26%20%5Ccolor%7BBlue%7D0%20%26%20%5Ccolor%7BBlue%7D-1%20%26%20%5Ccolor%7BBlue%7D1%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%7C%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%5Ccolor%7BGreen%7D0%20%26%20%5Ccolor%7BGreen%7D2%5C%5C%20%5Ccolor%7BRed%7D0%20%26%20%5Ccolor%7BRed%7D0%5C%5C%20%5Ccolor%7BGreen%7D1%20%26%20%5Ccolor%7BGreen%7D0%5C%5C%20%5Ccolor%7BRed%7D0%20%26%20%5Ccolor%7BRed%7D0%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%20%5D KerL=lin{(1,1,−2,0),(0,0,−1,1)} ImL=lin{(0,2),(1,0)}=ℛ² // kombinacja liniowa n liniowo niezależnych wektorów długości n daje ℛⁿ

jc: Co mają do rzeczy długości wektorów?

Pytający: Ano to, że kombinacja liniowa n liniowo niezależnych wektorów niekoniecznie daje ℛⁿ. Przykładowo lin{(1,1,1),(1,0,0)}≠ℛ²

jc: (1,1,1) nie jest elementem R². Czy wektory (1,2,3) i (1,1,0) mają tą samą długość? A wektory (1,0,0) i (1,0)?

Pytający: Ach, już widzę, że użyłem zdecydowanie złego pojęcia (długość wektora) − zagmatwało mi się. Chodziło mi rzecz jasna o rozmiar/liczbę współrzędnych wektora, nie o długość w sensie metrycznym. I tu właściwie skieruję pytanie: jakiego pojęcia powinien był użyć? Rozmiar właśnie? Wymiar? A odpowiadając na pytania: (1,2,3) i (1,1,0) mają oczywiście różne długości, acz oba są tego samego "rozmiaru", co miałem na myśli. (1,0,0) i (1,0) z kolei mają tę samą długość (1), acz mają różne "rozmiary" (2 i 3).

jc: Nie wiem. Zastanawiałem się jak sam mówię. Być może czasem tak samo, jak Ty. Wektory z Rⁿ = ciągi n elementowe = ciągi o długości n ? (oczywiście z odpowiednio określonymi działaniami)