calki calka: Rozwazmy nastepujace zagadnienie poczatkowo−brzegowe u_t=u_xx , t>0 x∊[0,π] u(t,0)=u(t,π)=0, t≥0 u(0,x)=φ(x), x∊[0,π]. a) sformulowac dwa rownania zwyczajne otrzymane z rozdzielenia zmiennych b) rozwiazac odpowiednie zagadnienie Dirichleta dla funkcji zmiennej x. c) jesli mamy rozwiazanie postaci u(t,x)=T(t)X(x) to jakie rownanie spelnia funkcja T d) znalezc rozwiazania w postaci rozdzielonych zmiennych dla i) φ(x)≡0, ii) φ(x)≡sin(x) e) jesli rozwiazanie jest dane w postaci szeregu u(t,x)=∑_n=1^∞ sin(nx)T_n(t) to: i)jakie rownanie spelniaja T_n, ii) ile wynosza T_n(0), iii) kiedy szereg ten jest zbiezny? a) u(t,x)=T(t)X(x) T'(t)X(x)=T(t)X''(x)

T'(t)		X''(x)
	=		=λ
T(t)		X(x)

Te rownania to T'(t)−λT(t)=0 oraz X''(x)−λX(x)=0. b) jakie zagadnienie Dirichleta? c) funkcja T spelnia rownanie T'(t)−λT(t)=0. Dobrze? d) dla φ(x)≡0 u(0,x)=0=∑_n=1^∞ b_nsin(nx)=b₁sinx+b₂sin2x+...=0, zatem b_i=0 wiec u(t,x)=0. Dobrze? dla φ(x)≡sin(x) u(0,x)=sin(x)=∑_n=1^∞ b_nsin(nx)=b₁sinx+b₂sin2x+..., zatem b₁=1, pozostale rowne sa 0, wiec u(t,x)=1*e^−tsin(x). Dobrze? e) i) jakie rownanie spelnia T_n?

calka: ?

calka: ?

calka: ?