Bardzo trudne chyba
...: Rozwiąż układ równań ( x,y,z są rzeczywiste)
x2 + 2xy + 5x = 2
y2 + 2yz + 5y = 2
z2 + 2xz + 5z = 2
Ostrzegam, że trudne siedzę juz trochę nad tym później wrzucę do czego doszedlem
10 cze 07:13
jc:
Tak na początek.
Po dodaniu stronami otrzymujemy
(x+y+z)2+5(x+y+z)−6=0
x+y+z=1 lub x+y+z=−6
10 cze 07:58
jc:
Jedno z rozwiązań to x=y=z=1/3, drugie x=y=z=−2. Czy mamy coś więcej?
10 cze 08:54
jc: Rozwiązań może być nawet 8.
f(x)=1/x − x/2 −5/2
y=f(x)
z=f(y)
x=f(z)
x=f(f(f(x)))
A może to pomoże: 3(x+y+z)+15=2(1/x+1/y+1/z) ?
Np. dla x+y+z=1 mamy 9 = 1/x+1/y+1/z.
10 cze 09:59
10 cze 10:20
jc: Na pewno będziemy mieli dodatkowo 3 rzeczywiste pierwiastki dla sumy równej 1.
x ≠ 0.1108 i odpowiednie y, z plus cykliczna zamiana.
Po drodze mamy równanie 3 stopnia, więc Wolfram mógł wyrazić rozwiązania
przy pomocy liczb zespolonych zamiast z pomocą funkcji trygonometrycznych.
Równane 3 stopnia można uzyskać wstawiając z=1−x−y do drugiego równania
i eliminując y z pierwszego. Daje to równanie 4 stopnia, ale jeden pierwiastek
znamy, więc pozostają 3.
To musi być nawet prostsze niż opisałem ...
10 cze 11:01
jc: Rozwiązaniami w przypadku sumy=1, poza x=y=z=1/3, są odpowiednio ułożone
pierwiastki wielomianu x3−x2−36x+4=0 (3 rzeczywiste!)
10 cze 11:20
jc: W przypadku sumy =−6 mamy x=y=z=−2 oraz cykliczne przestawienia pierwiastków
(rzeczywistych) równania 3x3+18x2−3x−2=0.
Zatem w sumie mamy 8 rozwiązań (wszystkie są rzeczywiste).
10 cze 11:26
Pytający:
Racja, a co do wolframowego wyniku to w zasadzie skłamałem, że 6 rozwiązań jest zespolonych. Co
prawda w dokładnych wynikach wielokrotnie występuje i, ale jak widać się skraca. Natomiast w
przybliżonych rozwiązaniach mamy współczynniki przy i rzędu 10−20 (na co wcześniej nie
zwróciłem uwagi), co oczywiście wynika z błędu przybliżenia.
10 cze 12:01
...: 
10 cze 15:51