macierz diagonalna podobna, schemat rozwiązywania pokerowelove: MACIERZ DIAGONALNA PODOBNA, czy schemat rozwiązywania JEST POPRAWNY ? Znaleźć macierz diagonalną D podobną do macierzy B = −1 3 −1 −3 5 −1 −3 3 1 oraz macierz C ∈ M₃(R) taka, ze D = C⁻¹BC Jeżeli macierze D jest podobna do B to spełniony jest warunek D=C⁻¹BC żeby znaleźć D musze przekształcić wzór na B=CDC⁻¹ Schemat rozwiązywania, 1. Wyznaczam wartości własne macierzy B. (korzystam ze wzoru det(B−Iλ)=0) // wyszło mi λ₁=5, λ₂=−i*2√2, λ₃=i*2√2 2. Następnie podstawiam do macierzy (B−Iλ) po kolei wszystkie wartoci λ i wyznaczam z równania wektory własne. Wyszły mi one odpowiednio dla λ₁=5 v1=[0,0,0] / λ₂ v2=(brzydki ułamek z i) / λ₃ v3=(brzydki ułamek z i) 3. Teraz zapisuje wartości własne w macierzy po przekątnej w reszte miejsc wpisuje 0(bo jest to macierz diagonalna i jednoczesnie jest to macierz podobna do macierzy B czyli jest to nasza szukana macierz D ) D= 5 0 0 0 −i*2√2 0 0 0 i*2√2 4. Teraz wpisuje współrzędne wektorów po kolei i jest to nasza macierz C czyli 0 v2_x v3_x 0 v2_y v3_y 0 v2_z v3_z 5. Odwracam macierz C aby mieć C⁻¹ 6. Przekształcam wzór B=C⁻¹DC D=CBC⁻¹ ALE W ZADANIU CHCĄ ŻEBY BYŁO TAK D = C⁻¹BC Czy to znaczy, że jeżeli mam już policzone C oraz C⁻¹ wiec to koniec czy coś jeszcze trzeba zrobić ? −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Czy schemat rozwiązywania jest dobry, wydaje mi się dość dłuuugi, czy są krótsze ?

pokerowelove: EWENTUALNIE PO PROSTU PODAJCIE SCHEMAT JAK TO LICZYĆ ?

Pytający: Schemat dobry, tylko błędy rachunkowe bądź w przekształcaniu: B − dana macierz D − macierz diagonalna z wartościami własnymi macierzy B na przekątnej C − macierz, której kolumnami są wektory własne odpowiadające kolejnym wartościom własnym macierzy B Wtedy zachodzi: B=CDC⁻¹, równoważnie C⁻¹BC=D Wartości własne powinny Ci wyjść 1,2,2: https://www.wolframalpha.com/input/?i=eigenvalues+%7B%7B-1,3,-1%7D,%7B-3,5,-1%7D,%7B-3,3,1%7D%7D

pokerowelove: poradziłem już sobie z tym zadaniem, ale dziękuję za odpowiedź, https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B-1,3,-1%7D,%7B-3,5,-1%7D,%7B-3,3,1%7D%7D gdybyś mógł mi jeszcze tylko powiedzieć dlaczego tutaj dla λ=2 v1 jest taki a v2 taki, tzn czemu nie mogę zapisać jako v1=(1,1,0) a v2(−1,0,3) Chodzi mi o kolejność tych wektorów

Benny: Dla danej wartości własnej kolejność wektorów nie ma znaczenia.

Pytający: Kolejność tych wektorów (kolumn w macierzy C odpowiadających tej samej wartości własnej) nie powinna mieć znaczenia. Zamiana kolejności kolumn zmieni postać C⁻¹ (tu zamienią się wiersze), ale powyższe równania dalej będą spełnione. https://www.wolframalpha.com/input/?i=inv%7B%7B-1,1,1%7D,%7B0,1,1%7D,%7B3,0,1%7D%7D https://www.wolframalpha.com/input/?i=inv%7B%7B1,-1,1%7D,%7B1,0,1%7D,%7B0,3,1%7D%7D