granice całkowania mateo: jeśli obszar jest ograniczony krzywymi z = 1 i 9z = x² + y² to jak określić granice dla x,y,z ?

Adamm: dla z to będzie

x2+y2
	≤z≤1
9

a dla x oraz y będzie x²+y²≤9 najlepszy wybór tutaj to współrzędne biegunowe

mateo: funkcje podcałkową mam √x² + y² to faktycznie najlepiej biegunowe wiem jak sie bd zmianiać z, kąt od 0 do 2π a jak określić r (rzut na płaszczyzne OXY) bo sie zmienia też

Adamm: r∊<0;3>

mateo: a r nie powinno zależeć od z ? bo rzut na płaszczyzne r jest inny dla każdego z

mateo: 0 ≤ z ≤ 1

Adamm: nie powinien

mateo: ok dzieki za pomoc bo jak licze objętość walca w biegunowych i daje r ∊[0,R] i r ≤ z ≤ H to wychodzi źle ....(1)

	R
a jak dam z ∊[0,H] i 0 ≤ r ≤ z*		to wychodzi dobrze (a tu r jest zmienne)
	H

co robie w (1) źle ?

Adamm: H? R? co?

mateo: walec wysokość H i promień R licze w w biegunowych wiem ze z = √x²+y² = ... = r ⇒ r ≤ z ≤ H

Adamm: podaj dokładnie treść

mateo: sorry stożek zamiast walec ...

mateo: oblicz objętość stożka o wysokości H i promieniu R w w cylindrycznych

mateo: zrobiłem takie ograniczenia: phi∊[0,2π] z∊[r,H] r∊[0,R] całka mnoże przez jakobian r i zły wynik wychodzi

Adamm: stożek tak √x²+y²≤z≤H x²+y²≤R² tutaj dobierasz kąt <0;2π> a promień <0;R>

mateo: to tak jak wyżej napisałem z po przejściu na biegunowe to r ≤ z ≤ H

mateo: i z tego wychodzi zła objętość stożka

Adamm: spróbuj teraz

H
	√x2+y2≤z≤H
R

x²+y²≤R²

mateo:

	H
wychodzi ! dzięki tylko skąd to
	R

jc: V = ∫₀^2π dφ ∫₀^H dz ∫₀^z rdr = 2π ∫₀^H dz ∫₀^z rdr

	z2		H3
= 2π ∫0H		dz = π
	2		3

Adamm: dolna granica to jakiś stożek, więc wiemy że a√x²+y²≤z dodatkowo wiemy że z=H oraz z=a√x²+y² powinny się przecinać dla x²+y²=R²

	a2		H
stąd x2+y2=		=R2 skąd a=
	H2		R

mateo:

	x2
dziwne intuicyjnie byłem przekonany ze od dołu z ≥		, dzięki za pomoc
	y2