calki calka: Rozwazmy nastepujace zagadnienie poczatkowe na prostej y'(t)=−3t²y(t); y(0) = 1. a) Sformułowac twierdzenie Picarda−Lindelöfa, b) okreslic przedział [0; α] na którym równanie posiada dokładnie jedno rozwiazanie o wykresie zawartym w prostokacie [0; α]X[−7; 9].

calka: Twierdzenie Picarda−Lindelöfa

	df
Niech funkcje f(t,y) oraz		beda ciagle na prostokacie R={(t,y): t0≤t≤t0+a,
	dy

|y−y₀|≤b}.

	b
Oznaczmy przez M=max|f(t,y)| a przez α=min{a,		}. Wtedy zagadnienie y'=f(t,y), y(t0)=y0
	M

ma dokladnie jedno rozwiazanie na odcinku [t₀, t₀+α]. Jak je tu zastosowac?

calka: Czyli z danych z zadania mamy: y'(t)=f(t,y)=−3t²y(t); U[df}{dy}=−3t² t₀=0; y₀=1 R=[0,a]X[−b+1, b+1]. M=max|−3t²y|=max 3t²|y| A jak dalej wyznaczyc a i b?

calka: M=max 3t²|y|≤3a²(b+1) (bo t≤a i y≤b+1) Czy moge porownac przedzialy tych prostokatow, aby wyznaczyc a i b? Tzn. −b+1=−7→b=8 b+1=9→b=8 oraz a=α. Ale czy ja moge tak zrobic, bo wtedy wychodzi, ze a=α ? A tak chyba nie bedzie?

calka: ?

calka: Bo skoro ma byc na [−7,9], to wyznaczam z warunku [−b+1, b+1]. Wtedy b=8. Ale a niekoniecznie musi byc rowne α. Dalej mamy

	b		8		8		8
α=min{a,		}=min{a,		}=min{a,		}≤
	M		3a2*9		27a2		27

	8
Odp. [0,		].
	27

Dobrze?

calka: ?

calka: ?

calka: Moze jednak ktos pomoze?