matematykaszkolna.pl
szereg maclaurina shadow: Ok, teraz czas na szeregi Maclaurina emotka Mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak znaleźć taki szereg mając podaną funkcję, bo kompletnie tego nie rozumiem.
5 cze 17:16
'Leszek: W kazdym podreczniku jest podany wzor , nalezy policzyc kolejne pochodne danej funkcji
5 cze 17:25
shadow: No tak, ale jak póżniej z tego wyliczyć wzór na n−tą pochodną?
5 cze 17:36
shadow:
 1 
Np.: taki prosty przykład f(x)=
liczę pochodne i co dalej?
 1−2x 
5 cze 17:43
Adamm:
 1 
f(x)=
 1−2x 
 1 
f'(x)=2*
 (1−2x)2 
 1 1 
f''(x)=22*
*
 2 (1−2x)3 
 11 
f(n)=2n*
 n!(1−2x)n+1 
faktycznie dla n=0 mamy nasz wzór na f(x) a przez indukcję jeśli
 11 
f(n)=2n*
 n!(1−2x)n+1 
to
 11 
f(n+1)=2n+1
 (n+1)!(1−2x)n+2 
zatem wzór jest prawdziwy
5 cze 17:48
shadow: czyli nie ma jakiegoś sposobu, żeby tą n−tą pochodną wyznaczyć? Muszę liczyć kolejne pochodne i zauważyć pewien schemat?
5 cze 17:54
Adamm: w sumie to tak
5 cze 18:04
shadow:
 x2 
a co np. z tym:
niby podobne, ale nic nie widze.
 1+4x 
5 cze 18:05
Adamm: przydatny jest https://pl.wikipedia.org/wiki/Wz%C3%B3r_Leibniza
5 cze 18:07
Adamm: albo możesz po prostu przedstawić w postaci sumy wielomianu i ułamka prostego
5 cze 18:10
shadow: Z policzenia pochodnych mam coś takiego:
 1 
f(1) = 4x2+2x *
 (4x+1)2 
 1 
f(2) = 2 *
 (4x+1)3 
 1 
f(3) = −24 *
 (4x+1)4 
 1 
f(4) = 304 *
 (4x+1)5 
Ten drugi składnik iloczynu to wiadomo zamiast 2, 3, 4, 5 itd. wpisuje (n+1), ale co z tym pierwszym składnikiem?
5 cze 18:42
shadow:
 1 1 
A jak bym f(x) rozbił na : −x2 *
? Rozwinięciem
jest (4x)n, ale co z tym
 1−4x 1−4x 
−x2?
5 cze 18:52
Adamm: powiedz mi co ty właściwie robisz, bo wyrwałeś coś z kontekstu, a ja mam się domyślać?
5 cze 18:54
Adamm:
1 
=1+4x+(4x)2+...+(4x)n+...
1−4x 
dla |4x|<1 to powinieneś znać z szeregów geometrycznych mnożysz razy −x2 i masz to co chcesz, a przynajmniej domyślam się że o to chodzi
5 cze 18:56
shadow:
 x2 
ten przykład co podałem wyżej:
 1+4x 
5 cze 18:57
Adamm:
x2 
=∑n=0∞(−4)nxn+2
1+4x 
pytanie jest tylko o zbieżność
5 cze 18:59
shadow: no właśnie, jest to szereg potęgowy i naprzemienny, więc z czego tu skorzystać?
5 cze 19:36
shadow: Dobrze myśle, że trzeba to zrobić jak dla normalnego szeregu potęgowego? Wtedy granica wychodzi −4.
5 cze 19:41
shadow: chociaż nie z d' Alamberta nie skorzystamy, bo nie jest to szereg o wyrazach dodatnich
5 cze 19:44
Adamm: dla szeregów potęgowych badamy zbieżność bezwzględną zbieżność warunkowa może wystąpić jedynie na brzegach tkzw. promienia zbieżności, co trzeba sprawdzić bezpośrednio
5 cze 19:49
Adamm: |U{(−4)n+1xn+3}{(−4)nxn+2|=|4x|<1 dla x=1/4, x=−1/4 szereg jest oczywiście rozbieżny
5 cze 19:54
Adamm:
 (−4)n+1xn+3 
|
|
 (−4)nxn+2 
5 cze 19:54
shadow: coś mi się tu nie podoba emotka Można zastosować kryterium d'Alamberta, skoro wyrazy tego szeregu nie są dodatnie? Mi wyszło, że promień zbieżności wynosi 0, więc ten szereg jest zbieżny tylko dla x=x0 czyli dla x=0.
5 cze 20:09
Adamm: co z tego że nie są dodatnie? mówię że badamy zbieżność bezwzględną
5 cze 20:10
shadow:
 1 1 
więc w jakim przedziale według Ciebie ten szereg jest zbieżny? (−
,
)?
 4 4 
5 cze 20:12
Adamm: tak, dokładnie wstaw sobie na przykład x=−1/8 i powiedz mi czy ten szereg jest zbieżny w końcu to szereg geometryczny, powinieneś sobie z takimi radzić
5 cze 20:13
shadow: ok, już zrozumiałem emotka
 (−1)n 
a ten szereg:
*x2n+1, z moich obliczeń jest zbieżny dla x∊R
 (2n+1)!*22n+1 
5 cze 20:29
Adamm: to jest z tego co wiem szereg dla cosinusa czy tam sinusa a one są zbieżne dla każdego x, więc jest ok
5 cze 20:31
shadow: tak, ten dokładnie dla sin(x/2)
5 cze 20:31
shadow:
 (−1)n*x2+n 
Dla takiej funkcji: x2*e−x rozwinięciem będzie:
?
 n! 
5 cze 20:40
Adamm: tak
5 cze 20:42
Adamm: i zbieżna jest dla dowolnej wartości x
5 cze 20:43
shadow:
 x3 
to jeszcze ostatnie pytanie. Jak to rozpisać:
, bo jak się domyślam trzeba
 16+x2 
 1 
skorzystać z faktu, że rozwinięciem
jest xn
 1−x 
5 cze 20:45
Adamm: tak
 1 
(x3/16)*
 1+(x/4)2 
 1 
tutaj rolę x we wzorze
pełni −(x/4)2
 1−x 
5 cze 20:47
shadow:
 x3+n 
zatem to będzie tak: (−1)n *
?
 42+n 
5 cze 21:50
Adamm: czwórka jest ze złą potęgą, tak samo x
5 cze 21:52
shadow: tak rzeczywiście do 3+2n i 2+2n powinno być
5 cze 21:56
Adamm: ok
5 cze 21:57
piotr: piszemy od razu:
1 
= ∑n=0∞ 2n xn, |x|<1/2
1−2x 
5 cze 22:05
shadow: Jednak mam jeszcze jedno pytanie emotka Otóż w notatkach z rozwijania coshx mam, że:
 
1 (−1)n 
+
n! n! 
 1 
∑n=0oo
* xn = ∑n=0oo
* x2n, gdzie
 2 (2n)! 
się podziała ta dwójka z mianownika?
5 cze 22:53
Adamm: wstaw: n=2k+1 gdzie k jest całkowite n=2k gdzie k jest całkowite
5 cze 22:56
shadow: ok, już widzę. Wcześniej nie zrobiłem dodawania 1+(−1)2n tylko zostawiłem ten licznik jako 1 emotka
5 cze 23:06
shadow: a przy sin2x.
 1−cos(2x) 1 1 
robie to ze wzoru sin2x =
=
− [
* cos(2x)], czyli:
 2 2 2 
 1 1 (−1)n 
∑n=0oo
− [
*
* (2x)2n] =
 2 2 (2n)! 
 1 (−1)n 
=
− [
*(2x)2n]
 2 2*(2n)! 
Co zrobić z tym odejmowaniem? Bo w notatkach gdzieś mi się to zgubiło.
5 cze 23:30
Adamm:
 1 1 (−1)n 
raczej
−∑n=0∞
*
*(2x)2n
 2 2 (2n)! 
1/2 możesz wstawić do pierwszego wyrazu (tego z x0)
5 cze 23:33
Adamm: i wtedy współczynnik przy x0 będzie 0, i szereg może zaczynać się od n=1
5 cze 23:35
Shadow: Nie rozumiememotka co to znaczy, ze 1/2 mogę wstawić do pierwszego wyrazu?
5 cze 23:44
Shadow: Jest możliwość rozwinięcia funkcji w szereg Maclaurina w WolframAlpha?
6 cze 17:46
Kacper: Oczywiście.
6 cze 17:50
Adamm: https://reference.wolfram.com/language/ref/Series.html
6 cze 17:51
shadow: Dobrze rozwinąłem tą funkcję? Bo wolfram pokazuje jakieś dziwne rozwinięcie.
x2 3n 
= ∑n=1oo (−1)*(−1)n*
*x2n+2
3x2−2 2n+1 
Da się jakoś wyciągnąć tą −1 przed szereg?
6 cze 18:18
shadow: oczywiście tam jest od n=0
6 cze 18:19
Adamm: 1. (−1)n tam nie powinno być 2. 2n zamiast 2n+1
6 cze 18:23
shadow: (−1)n widzę dlaczego, źle wyciągnąłem minus z mianownika, ale czemu zamiast 2n+1 ma być
 x2 
2n? w mianowniku funkcji jest 2 więc wyciągam −
 2 
6 cze 18:35
Adamm: tak, jednak z tą dwójką jest w porządku
6 cze 18:51
shadow:
 2 
A promień zbieżności ile wychodzi? Jak liczyłem z d'Alamberta to wyszedł
, a jak
 3 
 √2 
liczyłem z |q|<1 to wychodzi
 √3 
6 cze 19:22
jc: Druga liczba jest prawidłowa.
 1 
Dorzucę podobne zadanie. Rozwiń w szereg Maclaurina funkcję f(x)=
 1+x+x2 
6 cze 19:39
shadow:
 1 
Może jakaś podpowiedź? emotka Próbowałem skorzystać z faktu, że
= ∑(−1)n*(x)n za x
 1+x 
podstawiłem (x+x2), ale wtedy wychodzi taki szereg: (−1)n*[xn+2xn+1+x2n] i nie wiem jak to uprościć.
6 cze 19:58
Adamm:
1 x−1 
=
1+x+x2 x3−1 
6 cze 20:09
jc: Wspaniale emotka
6 cze 20:13
shadow: ∑ = (1−x)*(x3)n i co dalej z tym?
6 cze 20:16
Adamm:
1 
=∑n=0∞anxn
1−x3 
gdzie an=1 dla 3|n oraz an=0 w przeciwnym razie
−x 
=∑n=0∞bnxn
1−x3 
gdzie bn=−1 dla 3|(n−1) oraz bn=0 w przeciwnym razie czyli
1−x 
=∑n=0∞cnxn
1−x3 
gdzie cn=an+bn czyli cn=1 dla 3|n, −1 dla 3|(n−1) oraz 0 dla 3|(n+1)
6 cze 20:23
Adamm: http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(n)%3Df(n-3),+f(0)%3D1,+f(1)%3D-1,+f(2)%3D0 a tu masz postać zwartą
6 cze 20:30
shadow:
 3n 
Ile wynosi f17(0) dla tego szeregu: ∑(−1) *
* x2n+2, z tego co mi wyszło
 2n+1 
 √315 
to jest to: −
* (17)!, ale porównując z wolframem to źle mi wyszło.
 √217 
6 cze 21:10
Adamm: masz szczęście że cię jakimś cudem rozumiem emotka f(17)(0) odpowiada współczynnikowi przy x17 pomnożonemu razy 17! czyli 0
6 cze 21:16
shadow: tak 17 pochodna w zerze. Jak Ci wyszło, że współczynnik przy x17 jest 0?
6 cze 21:20
Adamm: przecież x2n+2 dla żadnego n naturalnego nie jest nieparzyste więc dla nieparzystych potęg, współczynnik przy x wynosi 0
6 cze 21:22
shadow: ok, wybacz, że zadaje głupie pytania, ale już kompletnie nie myślę emotka
6 cze 21:25
shadow: to teraz kolejne z serii zapewne głupich pytań emotka ale nie daje mi ono spokoju emotka
 (−1)n+1*22n 
Zróbmy to na przykładzie takiego szeregu: ∑
*x2n, więc z tego:
 2*(2n)! 
 (−1)n+1*22n 
a2n =
 2*(2n)! 
teraz załóżmy, że chcę badać zbieżność tego ciągu z d'Alamberta czyli muszę wziąć wyraz
 1 
a2n+1, a taki wyraz dostanę, gdy za za n wstawię n+
,
 2 
 (−1)n+3/2*22n+1 
więc wyraz a2n+1 wygląda tak:
, tak to ma poprawnie
 2*(2n+1)! 
wyglądać?
6 cze 21:37
Adamm:
 22n−1 22−1/n 
n√
x2n=
x2
 (2n)! n√(2n)! 
 (2n+2)! 
limn→∞ n√(2n)! = limn→∞
= ∞
 (2n)! 
 22−1/n 
zatem
x2 → 0
 n√(2n)! 
i tyle, zbieżny dla każdego x
6 cze 21:45
Adamm: nie możesz zastosować kryterium de'Alemberta ponieważ a2n+1=0 a jak wiesz przez 0 nie dzielimy
6 cze 21:49
shadow: no tak można i tak, ale jak bym to chciał koniecznie z d'Alamberta? Czy raczej jak występuje taka sytuacja, że mamy wyraz 2n + C to wykazywać z Cauchego?
6 cze 21:50
shadow: czyli zawsze jak jest sytuacja 2n + C to d'Alambert odpada?
6 cze 21:52
Adamm: tak
6 cze 21:52
jc: Myślę, że można tylko trochę inaczej. A jak jest ze zbieżnością szeregu 1 + x + x2 + x4 + x9 + x16 + ...
6 cze 21:59
shadow:
 1 
to jeszcze na koniec wracając do tego przykładu
jak to rozwinięcie ma w końcu
 1+x+x2 
wyglądać, bo trochę nie rozumiem twojego wcześniejszego zapisu.
6 cze 22:00
Adamm: zbieżny dla dowolnego x lim sup n√an = 0 an składa się jedynie z wyrazów 0 oraz 1
6 cze 22:02
Adamm: 1−x+0x2+x3−x4+0x5+... tutaj wyrazem jest 1, −1, 0 przy czym zmieniają się one okresowo
6 cze 22:06
Adamm: ∑n=0∞anxn an+3=an dla n≥0 a0=1 a1=−1 a2=0 tak to można zapisać, w postaci rekurencji możesz to również rozwiązać, dostaniesz zwartą postać, prawdopodobnie z liczbami urojonymi
6 cze 22:08
jc: Adamm, szereg 1−z+x3−x4+x6−x7+... jest o ile |x| < 1. Przy okazji: limsup n√|an| = 1
6 cze 22:26
Adamm: właśnie odszedłem od komputera i tak sobie myślę, co ja napisałem emotka no jasne że lim sup n√|an| = 1
6 cze 22:28
shadow: więc ten szereg można zapisać tak: ∑n=0oo x3n − x3n+1?
6 cze 22:49
shadow: jak można rozpisać coś takiego: √(2n+1)!, gdzie stopień pierwiastka to (2n+1)?
7 cze 14:35
Adamm: ale jak chcesz to rozpisać? chcesz policzyć granicę z tego?
7 cze 14:37
shadow: tak do policzenia granicy
7 cze 14:40
Adamm:
 (n+1)! 
limn→∞ [(2n+1)!]1/(2n+1) = limn→∞ n√n! = limn→∞
= ∞
 n! 
7 cze 14:41
Adamm: jeśli ciąg an o wyrazach dodatnich ma granicę an+1/an to tą samą granicę ma n√an
7 cze 14:51
shadow:
 1 
a jeżeli mam rozwinąć w szereg Maclaurina drugą pochodną tej funkcji:
, to muszę
 4−x2 
liczyć tą pochodną i rozwijać, czy mogę jakoś z rozwinięcia tej początkowej funkcji wyliczyć rozwinięcie jej drugiej pochodnej?
7 cze 15:22
Adamm: tak, wystarczy że policzysz pochodną z rozwinięcia 1/(4−x2) w szereg dwukrotnie
7 cze 15:30
shadow:
 1 
czyli rozwinięciem drugiej pochodnej funkcji
w szereg będzie:
 4−x2 
 1 
∑
* 4−n * ln2(4) * x2n. Dobrze?
 4 
7 cze 15:46
Adamm: no nie skąd tam ten logarytm naturalny?
7 cze 15:48
shadow:
 1 1 1 
no bo rozwinięciem
jest ∑
* x2n, a druga pochodna z
 4−x2 4n+1 4n+1 
to właśnie to co napisałem
7 cze 15:51
Adamm: nie liczysz pochodnej po n (która nie jest zmienną, tylko indeksem) ale po x
7 cze 15:52
shadow:
 1 
wszystko jasne emotka ∑
* 2n * (2n−1) * x2n−2
 4n+1 
7 cze 15:57
shadow: a promień zbieżności też da się jakoś powiązać z promieniem tej pierwszej funkcji? Czy to już trzeba liczyć osobno?
7 cze 16:01
shadow: Teoretycznie ten promień wyszedł taki sam, ale jak to ja, mogłem coś źle policzyć emotka
7 cze 16:04
shadow: Czy jak rozwijam w szereg n−tą pochodną jakiejś funkcji to ten powstały szereg z n−tej pochodnej będzie miał dokładnie te same przedziały zbieżności i promień co szereg z funkcji wyjściowej?
7 cze 16:35
Adamm: nie wiem normalnie powinien być taki sam, ale może istnieją jakieś ekstremalne przypadki
7 cze 16:41
Adamm: przedziały zbieżności pewnie nie, promień zazwyczaj tak
7 cze 16:42
shadow:
 1 
jak byś taką granicę policzył: lim
* 2n * (2n−1) * (−2)2n−2
 4n+1 
7 cze 16:50
Adamm:
 1 
=lim
*2n*(2n−1) = ∞
 42 
7 cze 16:55