Kryterium porównawcze shadow: Do czego można by przyrównać taki szereg:

	2n+en
∑n=0oo		, żeby zbadać zbieżność z kryterium porównawczego?
	en+4n

kochanus_niepospolitus: z porównawczego? no to jedziemy:

2n + en		2n + 2n		1
	≥		=
en + 4n		4n + 4n		22

i w sumie tyle wystraczy

shadow: skąd wiedziałeś, czy będziesz ograniczał z góry, czy z dołu?

kochanus_niepospolitus: początkowo chciałem ograniczyć i z dołu i z góry (bo tak winno się robić) ... jednak gdy ograniczyłem z dołu to okazało się, że szereg jest rozbieżny, więc nie ma po co ograniczać z góry w kryterium porównawczym zawsze zaczynaj od ograniczania z dołu − jak wyjdzie że rozbieżny szereg, to już masz koniec zadania

shadow:

	3n+n
a w takim przypadku: ∑n=1oo
	n3n+2n

jc: Przecież w liczniku ważne jest eⁿ, a w mianowniku 4ⁿ.

2n + en		2 en
	≤		= 2 (e/4)n, rozpatrywany szereg jest zbieżny.
en+4n		4n

Ostatni przykład − szereg rozbieżny.

3n+n		3n		1
	≥		=
n3n + 2n		2n3n		2n

shadow:

	1
W tym, co napisał kochanus też wyjdzie zbieżny, bo		jest szeregiem zbieżnym.
	2n

Adamm: nie, bo jest mniejszy

jc: I co z tego, że ∑ 1/2ⁿ jest zbieżny? Nierówność mówi, że wyrazy Twojego szeregu są większe. Twój szereg może być zbieżny, np. (3/4)ⁿ ≥1/2ⁿ, lub rozbieżny, np. 1 ≥ 1/2ⁿ.

shadow: więc jak będę szacował rozbieżność to zawsze szukam mniejszego, a jak zbieżność większego?

Adamm: czytałeś twierdzenie ?

Adamm: tak, zawsze i jest to dosyć logiczne

shadow: To teraz kryterium ilorazowe ∑_n=0^oo4ⁿln(1+3⁻ⁿ) z czym to porównać?

Adamm:

ln(1+x)
	→1 dla x→0
x

to taka podpowiedź

shadow:

	1
Przyrównuję do		a zbieżnośc tego wykazuję z d' Alamberta. Dobrze?
	4n*3−n

Adamm: raczej do 4ⁿ3⁻ⁿ szereg jest rozbieżny bo jest geometryczny o ilorazie równym 4/3

shadow: Ostatni przykład.

	π   sin( )   n		π
∑n=1oo		. Przyrównałem do		, tylko jak
	π   sin( )   n2		π   nsin( )   n2

teraz wykazać zbieżność tego drugiego szeregu?

Adamm:

π   n
	=n
π   n2

przyrównaj do tego

shadow:

	nn
Jak przekształcić taką granicę: limn−>oo		, żeby otrzymać sytuację z granicą
	(n+1)n

równą e?

Adamm:

	n		1
=(		)n=(1−		)n
	n+1		n+1

shadow:

	3n*nn2)
Masz jakąś podpowiedź do tej granicy: limn−>oon√
	(n+1)n2

Adamm:

	3nnn2
(		)1/n ?
	(n+1)n2

shadow: tak

Adamm:

	1
można to inaczej zapisać tak: 3*(1−		)n
	n+1

Adamm:

	3
czyli		>1
	e

shadow:

	π
Mam taki szereg: ∑n=4oo(−1)nsin		mam uzasadnić zbieżność z twierdzenia Leibniza.
	n

	π
Sprawdzając, czy sin		jest funkcją nierosnącą rozpatruje to tylko dla x > 4 tak?
	x

Adamm: obojętnie możesz wybrać dowolny przedział x≥A wystarczy że ciąg jest nierosnący od pewnego momentu

shadow:

	3n
a taką granice: limn−>oo
	n!

Adamm: twierdzenie Stolza

Adamm: albo i nie twierdzenie Stolza, nic to nie da proponuje coś takiego ln(n!)=ln2+ln3+ln4+...+lnn≤(n−1)lnn oraz ln(n!)≥(n−2)ln4 łącząc mamy 4ⁿ⁻²≤n!≤nⁿ⁻¹ granica to 0 z tw. o 3 ciągach

Adamm:

	kn
podobnie mógłbyś wykazać że granica		zawsze dąży do 0, nie ważne jak
	n!

dużą liczbą jest k

shadow:

	(x−3)n
czy ten szereg potęgowy: ∑n=1oo		jest zbieżny dla każdego x? Mi wyszło, że
	n!

tak.

Adamm: tak nawet łatwo obliczyć jego wartość to e^x−3−1

shadow:

	3n*2−2n*2
limn−>oo
	3n*3−2n*2

jak to policzyć?

shadow: dobra , nie było tematu już wiem

shadow:

	2n		3
Jak wykazać rozbieżność tego ciągu: ∑n=1oo		*(−		)n
	3n−2n		2

zadziała tu kryterium Abela?

shadow: zbieżność pierwszego składnika iloczynu mam wykazany z wcześniejszych obliczeń. Drugi składnik nie jest monotoniczny, więc cały szereg jest rozbieżny. Jest to prawda?

Adamm: otóż kryterium Abela tu nie zadziała z twoich obliczeń nie wynika rozbieżność szeregu musimy podejść do sprawy inaczej

Adamm: nie wiem o czym ja myślę warunek konieczny nie jest spełniony, wszystko

qweerty: mogę wyciągnąć − przed limes?