Witam Agata: Rozwiąż nierówność : −1 + (√x)² + (√x)³ + (√x)⁴ + ... < √x

Kacper: Napisz do mnie na gg to ci pomogę tutaj sporo pisania.

Agata: Niestety nie mam gg

Adamm: x≥0, klasycznie dalej, S=(√x)²+(√x)³+(√x)⁴+...

	(√x)3
jest szeregiem geometrycznym o ilorazie q=		=√x (dla x≠0)
	(√x)2

ale dla x=0 również q=√x więc nie ma tu sprzeczności na to by szereg był zbieżny potrzeba by |q|<1 ⇒ |√x|<1 ⇒ √x<1 ⇒ 0≤x<1

	x
i ze wzoru na jego sumę S=
	1−√x

	x
−1+		<√x dalej skoro 1−√x>0 z założenia
	1−√x

−1+√x+x<√x−x x<1/2 ostatecznie x∊<0;1/2)

yht: (√x)² + (√x)³ + (√x)⁴ + ... < 1 + √x D: x≥0 a₁ = (√x)² q = √x |q| < 1 √x < 1 |()² x < 1 → D: x∊<0,1)

a1
	< 1 + √x
1−q

(√x)2
	< 1 + √x
1−√x

√x = t jeśli x = 0, to t=√x = √0 = 0 jeśli x = 1, to t = √x = √1 = 1 zatem t∊<0,1)

t2
	< 1+t | *(1−t)
1−t

t² < (1+t)(1−t) t² < 1−t² 2t² < 1

	1
t2 <
	2

	1
(√x)2 <
	2

	1
x <		oraz D: x∊<0,1)
	2

zatem rozwiązaniem nierówności jest

	1
x∊<0,		)
	2