Podzielnosc 5-latek: Udowodnij ze dla kazdego n nieparzystego liczba 48 jest dzielnikiem liczby x= n³+3n²−n−3 x= n²(n+3)−(n+3) x= (n−1)(n+1)(n+3) Skoro n jest nieparzyste to mamy 3 kolejne liczby parzyste Wsrod 3 liczb parzystych jedna jest podzielna przez 3 i przez 2 Conajmniej jedna podzielna przez 2 i conajmniej jedna podzielna przez 4 2¹*2²*2¹*3= 2⁴*3=48

5-latek: I zadanie takze zwiazanen z podzielnoscia Udowodnij z e dla kazdego n nieparzystego jest 512|n¹²−n⁸−n⁴+1 Pytam dlatego bo mam w odpowiedzi 2⁹=512 Ale moze to rozloze n¹²−n⁸−n⁴+1= n⁸(n⁴−1)−1(n⁴−1) = n⁴−1)(n⁴−1)(n⁴+1)= (n²−1)²(n²+1)²(n⁴+1)= =(n−1)²(n+1)²(n²+1)²(n⁴+1) Teraz jak to udowodnic ?

Adamm: n²+1=(n−1)(n+1)+2 n⁴+1=(n²−1)(n²+1)+2=(n−1)(n+1)[(n−1)(n+1)+2]+2

Mariusz: n=1 48|1+3−1−3=0 Założenie n=2k+1 48|(2k+1)³+3(2k+1)²−(2k+1)−3 Krok indukcyjny n=2k+3 (2k+3)³+3(2k+3)²−(2k+3)−3=((2k+1)+2)³+3((2k+1)+2)²−((2k+1)+2)−3 (2k+1)³+6(2k+1)²+12(2k+1)+8+3(2k+1)²+12(2k+1)+12−(2k+1)−2−3 (2k+1)³+9(2k+1)²+23(2k+1)+15=(2k+1)³+3(2k+1)²−(2k+1)−3+6(2k+1)²+24(2k+1)+18 (2k+1)³+3(2k+1)²−(2k+1)−3 jest podzielne z założenia 6*((2k+1)²+4(2k+1)+3) 6*(4k²+4k+1+8k+4+3) 6*(4k²+12k+8) 24(k²+3k+2) 24(k+1)(k+2) Mamy iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych zatem jedna z nich jest parzysta więc cała reszta jest podzielna przez 48

Adamm: to i tak trochę za mało, bo dochodzimy do 2⁵ najlepiej byłoby kombinować podstawiając n=2k+1

Adamm: nie, wychodzi jednak 2⁹

Metis: Gdzie się podziewałeś ?

5-latek: WItam Bylem chory i musialem odpoczac . Teraz jade do pracy . dziekuje za odpowiedzi .

jc: n nieparzyste (n−1)(n+1) liczb podzielna przez 2*4=8 (n²+1), (n⁴+1), liczby parzyste Cały iloczyn (n−1)²(n+1)²(n²+1)²(n⁴+1) jest więc podzielny przez 8³ = 2⁹ = 512.

Mila: