probablistyka janusz: Zmienna (X,Y) ma rozkład o funkcji gęstości f(x,y)=x+y , 0≤x≤1, 0≤y≤1 Wyznaczyć rozkłady zmiennych a) X+Y, b) X−Y , c) XY, d) Y/X .

g: a) Z = X+Y, Y = Z−X

	P[z≤Z<(z+dz)]
fz(z) = lim(dz→0)
	dz

P[z≤Z<(z+dz)] = ∫₀¹ ∫_z−x^z+dz−x f(x,y) dy dx = = ∫₀¹ (x*dz + (z−x+dz)²/2 − (z−x)²/2) dx = = ∫₀¹ (z*dz +dz²/2) dx = (pomijam dz² bo zginie przy liczeniu granicy) = z*dz; f_z(z) = z dla 0≤z≤2

janusz: dzięki za rozwiązanie czy mógłbym prosić o link do teorii o tym lub chociaż pod jaką nazwą w książkach mogę znaleść teorię na ten temat

g: Co do linków to nie wiem. Idea tego obliczenia jest taka, że całkujemy rozkład dwuwymiarowy f(x,y) po takim podzbiorze (x,y), że x+y ∊ <z, z+dz>. Można zrobić tak, że całka po y jest w zakresie od (z−x) do (z−x)+dz a całka po x w pełnym zakresie od 0 do 1. Tak ja zrobiłem. Można też odwrotnie. Ta całka jest całką powierzchniową z rozkładu dwuwymiarowego, więc wynikiem jest prawdopodobieństwo P. Żeby z prawdopodobieństwa P wyznaczyć funkcję gęstości prawdopodobieństwa f_z(z), to trzeba policzyć granicę ilorazu P/dz, tak jak napisałem. c) Z = XY, Y = Z/X wtedy całkowanie po y będzie od (z/x) do ((z+dz)/x)

janusz: dziekuje bardzo za pomoc

g: poprawka, złe granice całkowania po x. przy całkowaniu po y trzeba zadbać o to, żeby y nie wyszło poza zakres <0,1>, to znaczy że w punkcie a) 0 ≤ z−x ≤ 1, czyli że dla z ≤ 1: 0 ≤ x ≤ z dla z > 1: z−1 ≤ x ≤ 1 w efekcie zmieni się f_z(z) dla z ≤ 1: f_z(z) = z² dla z > 1: f_z(z) = z(2−z)