średnie Adamm: znalazłem fajny dowód na nierówność między średnią geometryczną a arytmetyczną a₁≤a₁

	a1+...+am
dalej zakładamy że nierówność a1*...*am≤(		)m
	m

zachodzi dla m=2ⁿ mamy a₁*...*a_2ⁿ*a_2ⁿ+1*...*a_2ⁿ⁺¹≤

	a1+...+a2n		a2n+1+...+a2n+1
≤(		)2n(		)2n
	2n		2n

	a1+a2
z nierówności a1*a2≤(		)2 mamy
	2

	a1+...+a2n		a2n+1+...+a2n+1
(		)2n(		)2n≤
	2n		2n

	a1+...+a2n+1
≤(		)2n+1
	2n+1

zatem udowodniliśmy że nierówność zachodzi dla potęg dwójek dalej, zakładając że zachodzi dla m=n+1

	a1+...+an+1
a1*...*an+1≤(		)n+1
	n+1

	a1+...+an
wystarczy położyć an+1=
	n

dostajemy tak

	a1+...+an
a1*...*an≤(		)n
	n

zatem udowodniliśmy że z kroku n+1 wynika n te dwa twierdzenia dowodzą że nierówność zachodzi dla dowolnego n

.: śliczny

jc: To jeden z najładniejszych dowodów jakie poznałem (dawno temu).

AiO: jest bardzo ladnie opisany w ksiazce z cyklu monografie popularnonaukowe I.P.Natanson Najprostszse zadania na maxima i minina .

g:

	a1+...+an
Dlaczego an+1 =		?
	n

Adamm: założyliśmy że nierówność zachodzi dla n+1, a_n+1 jest dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią, więc możemy obrać ją w dowolny sposób nie zagłębiałem się w szczegóły, to tylko opis dowodu, nie cały dowód najważniejsza jego treść

jc: Mamy nierówność dla n+1, a chcemy dla n. Takie podstawienie pozwala przejść z n+1 do n. Dlaczego takie? Sprawdź, że działa. Rzecz w tym, że początkowo mamy nierówność dla n=2,4,8,.. Jeśli chcemy n=5, to przechodzimy z 8 do 7, potem do 6, na koniec do 5. Można zresztą od razu z 8 do 5. Jak?

g: No dobrze, ale w dowodzie użyliśmy równości, która nie musi być prawdziwa.

Adamm: ale może, i to wykorzystujemy

g: No to udowodniłeś twierdzenie, ale tylko dla przypadku gdy ta równość jest spełniona.

Adamm: zakładamy że dla n+1 nierówność jest prawdziwa to znaczy że dla dowolnych rzeczywistych dodatnich a₁, ..., a_n+1 zachodzi taka równość

	a1+...+an
a szczególny przypadek takiej równości to gdy an+1=
	n

który mówi że dla n taka nierówność jest prawdziwa oznaczając zdanie T(n), w skrócie udowodniliśmy że T(n+1) ⇒ T(n) i to wszystko co mieliśmy udowodnić ta równość jest naprawdę bez znaczenia

g: WTG (Wielkie Twierdzenie G) Teza: x=2x Dowód: weźmy x=0, 0=2*0 cbdo.

Adamm: chyba robisz sobie ze mnie żarty

g: No pewnie. Bo chcę Ci zilustrować błąd na prostym przykładzie.

jc: Ojej, przecież jest napisane. Pokazujemy dwie implikacje: T(2ⁿ) ⇒ T(2ⁿ⁺¹) oraz T(n+1)⇒T(n). Jeśli mamy T(1), to dojdziemy do dowolnego n. przykład n=5. T₁ ⇒ T₂ ⇒ T₄ ⇒ T₈ ⇒T₇ ⇒T₆ ⇒T₅.

g: Ale przecież nie o to idzie spór, tylko o to że w dowodzie użyto równości, która nie musi być prawdziwa, więc ten dowód jest do bani.

jc: Zamień słowo "połóżmy" na słowo "podstawmy". Podstawianie to podstawowa reguła.

Adamm:

	a1+...+an
ale gdy an+1=		to nierówność zachodzi, tak?
	n

to w czym problem?

Adamm: twoje argumenty są do bani nie musi być prawdziwa CO Z TEGO

Adamm:

	a1+...+an
an+1=		nie musi zachodzić
	n

ale zachodzi, bo sobie tego zażyczyliśmy

Adamm: więc tak musi być prawdziwa z założenia o jej prawdziwości

Adamm: a możemy tak zrobić, bo a_n+1 to dowolna liczba rzeczywista dowolna

Adamm: dodatnia