calki calka: Rozwiazac rownanie 3u_x+5u_y=0 z war. pocz. u(0,y)=y³. u(x,y)=f(3y−5x). u(0,y)=f(3y)=y³. I co dalej zrobic?

jc: Przecież już masz wynik: u(x,y)=f(3x−5y)=f( 3 (x−5y/3) ) = (x−5y/3)³. Ponieważ połowa pytających nie pamięta, jaka jest kolejność działań

	5
wynik zapiszę inaczej: f=(x−		y)3.
	3

calka: Tam chyba powinno byc u(x,y)=f(3y−5x).

	(3y−5x)3
Mozna jeszcze zapisac u(x,y)=		.
	27

A jak uzasadnic, ze to rozwiazanie musi byc stale na tej charakterystyce? No, bo 3y−5x=C jest charakterystyka tego rownania. A czy sa jakies inne jeszcze charakterystyki?

jc: Masz rację. f(t)=t³ /27, u(x,y)=f(3y−5x)=(3y−5x)³ /27

jc: Załóżmy, że y=y(x) jest poziomicą funkcji u. 0 = (d/dx) u(x,y(x)) = u_x + u_y y' Wiemy, że 3u_x + 5u_y=0. Stąd y' = − u_x/u_y = 5/3, a więc y = 5/3 x + stała.

calka:

	5
Czyli charakterystyki tego rownania to krzywe postaci y=		x+C, C∊R (sa to funkcje
	3

liniowe). Rozwiazanie ogolne jest postaci u(x,y)=f(3y−5x).

	(3y−5x)3
Rozwiazanie szczegolne spelniajace warunek u(0,y)=y3 jest postaci u(x,y)=		.
	27

Ale dlaczego to rozwiazanie ma byc stale na tych charakterystykach to nie wiem?

calka: ?