Liczby
nick1213: Ile liczb ze zbioru Z={1,2,...,99 999} ma tę własność, że suma cyfr równa jest 12?
25 maj 21:16
nick1213: Musi wyjść 1745
25 maj 22:25
Pytający:
Rozważmy równanie:
x
1+x
2+x
3+x
4+x
5=12, gdzie x
i≥0
| | | | | |
Równanie to ma | = | =1820 rozwiązań. |
| | | |
https://pl.wikipedia.org/wiki/Kombinacja_z_powt%C3%B3rzeniami
Jeśli jednak chcemy, aby x
i odpowiadały kolejnym cyfrom liczby, trzeba odjąć przypadki, gdy
którekolwiek x
i≥10:
− gdy któreś x
i=10:
10+x
2+x
3+x
4+x
5=12
x
1+10+x
3+x
4+x
5=12
x
1+x
2+10+x
4+x
5=12
x
1+x
2+x
3+10+x
5=12
x
1+x
2+x
3+x
4+10=12
Każde z tych 5 równań sprowadza się do równania:
y
1+y
2+y
3+y
4=2, gdzie y
i≥0
| | | | | |
Równanie to ma | = | =10 rozwiązań. Łącznie 5*10=50 rozwiązań, gdy któreś xi=10. |
| | | |
− gdy któreś x
i=11:
Analogicznie mamy 5 równań postaci:
y
1+y
2+y
3+y
4=1, gdzie y
i≥0
| | | | | |
Równanie to ma | = | =4 rozwiązań. Łącznie 5*4=20 rozwiązań, gdy któreś xi=11. |
| | | |
− gdy któreś x
i=12:
Analogicznie mamy 5 równań postaci:
y
1+y
2+y
3+y
4=0, gdzie y
i≥0
Równanie to ma 1 rozwiązanie. Łącznie 5 rozwiązań, gdy któreś x
i=12.
Zatem ostatecznie:
1820−50−20−5=1745
25 maj 23:01
Mila:
x
1+x
2+x
3+x
4+x
5=12
| | | | | |
1) | = | =1820 liczba wszystkich rozwiązań w zbiorze liczb całkowitych |
| | | |
nieujemnych
2) 0≤x
i≤9
Należy usunąć te rozwiązania, w których x
i≥10⇔szukamy rozwiązań równań:
3)
x
1≥10
A
1={(x
1,x
2,x
3,x
4,x
5) : x
1=10 i x
1+x
2+x
3+x
4+x
5=12}
|A
1|: x
1+x
2+x
3+x
4+x
5=2
4)
|A
2|=|A
3|=|A
4|=|A
5|=15
Przecięcia zbiorów A
i są zbiorami pustymi⇔
5) Liczba szukanych rozwiązań:
1820−5*15=1745
28 maj 16:35
