calki calka: Zbadac stabilnosc punktów stacjonarnych ukladu rownan rozniczkowych x'=−x−y, y'=−x−y korzystajac z funkcji Lapunowa. Uklad ten jest liniowym ukladem rownan rozniczkowych o stalych wspolczynnikach (jest tzw. ukladem prostym). Zatem jedynym punktem stacjonarnym jest punkt p=(0,0). Funkcja Lapunowa dla rownania x'=f(x) nazywamy funkcje V spelniajaca warunki: 1) V(x)≥0 2) V (x) = 0 wtedy i tylko wtedy gdy x = 0; 3) ∇V◯f≤0. Jak tutaj wykonac to zadanie za pomoca tej funkcji Lapunowa?

g: Przyjmij V = (x²+y²) / 2 wówczas grad(V) = [x, y], grad(V) * [−x−y, −x−y] = −(x+y)² ≤ 0

calka: I to koniec?

g: Koniec. Wykazaliśmy że istnieje funkcja Lapunova spełniające wszystkie potrzebne założenia, co oznacza że punkt stacjonarny jest stabilny.

calka: Ok. Dziekuje. A jak dobierac ta funkcje Lapunowa? Zgadywac?

g: Nie ma uniwersalnej metody znajdowania f. Lapunova. Jeśli układ równań opisuje jakąś sytuację fizyczną, to często równanie na energię układu jest dobrym kandydatem na f.L.

calka: A rownanie na energie ukladu, czyli co?

g: Na przykład masa m na sprężynie o stałej sprężystości k. Położenie masy i prędkość to x i v. Równania układu: x ' = v v ' = −(k/m)*x Równanie na energię całkowitą (kinetyczną ruchu masy + potencjalną naciągniętej sprężyny):

	mv2		kx2
E =		+
	2		2