Algebra, przypomnienie Benny: Jakie elementy ma ciało Z₂[x]/(x²+x+1)?

Benny: Czy będą to wszystkie elementy postaci (ax+b)+<x²+x+1>, więc: 0+<x²+x+1>, 1+<x²+x+1>, x+<x²+x+1>, (x+1)+<x²+x+1>

jc: 0, 1, x, 1+x (to reprezentanci warstw)

jc: Minęły się listy. TAK, jeśli <x²+x+1> oznacza u Ciebie zbiór wszystkich wielokrotności wielomianu x²+x+1.

Benny: Znalazłem pewien wzór na liczbę elementów tego ciała. Z_p[x]/<f(x)>, f(x) ma stopień n to takie ciało ma pⁿ elementów, jeśli n jest pierwsze i ≥1. Czy p też musi być pierwsze? Było to z artykułu po angielsku, lecz na temat p nic nie widziałem.

Benny: Oczywiście f(x) nierozkładalny.

jc: 1. Liczba elementów ciała skończonego jest potęgą liczby pierwszej. Jak to zobaczyć? Każde ciało ma zawiera jako podciało ciało Q lub Z_p (patrzysz, co można wygenerować z jedynki, p musi być liczbą pierwszą, inaczej nie mamy ciała). Skończone ciało jest rozszerzeniem Z_p. Takie ciało możemy traktować jako pewną k wymiarową przestrzeń liniową nad Z_p, ma więc p^k elementów. 2. Dla każdego k znajdziemy wielomian nierozkładalny o współczynnikach Z_p (to jest znacznie trudniejsze). Dlatego dla każdej liczby p^k znajdziemy ciało o takiej liczbie elementów (p nadal oznacza liczbę pierwszą).

jc: A co to jest R[x]/(x²+1) ?

Benny: Nieskończone ciało.

jc: Tak, nieskończone, ale na pewno wiesz, co to za ciało.

Benny: R₁[x]?

jc: To liczby zespolone. W twojej notacji a+bx + <1+x²> to po prostu a+bi

Benny: Nie rozumiem czemu tak.

jc: W zbiorze wielomianów definiujemy relację: f ~ g ⇔ (1+x²) | (f−g). Jest to relacja równoważności. Reprezentantami są wielomiany a+bx. Zamiast na klasach abstrakcji (warstwach), działania możemy wykonywać na wielomianach liniowych, przy czy mnożenie wykonujemy modulo 1+x². (a+bx)(c+dx) = ac + (bc+ad)x + bd x² = (ac − bd) + (bc+ad)x + bd (1+x²) Ostatni składnik pomijamy (to wielokrotność 1+x²). Teraz chyba rozpoznajesz liczby zespolone?

Benny: No wygląda jak mnożenie liczb zespolonych

jc: 14:15, to p powinno być liczbą pierwszą, nie n.

Benny: To w tekście może była literówka albo ja coś przeoczyłem.