Funkcja wielomianowa K: Dla jakich wartości parametru m (m∊R) równanie x⁴+2(m−2)x²+m²−1=0 ma dwa różne rozwiązania. 1

⎧	Δ>0
⎩	t1t2<0

2

⎧	Δ>0
⎩	t1+t2=0

x²=t t²+2(m−2)t+m²−1>0 Δ= −16m+20

	1
m∊(−∞,1		)
	4

1) m²−1<0 m∊(−1, 1) 2) −2m+4=0 m=2 No i mam taki przedział: http://i.imgur.com/BzigJ75.png Więc odpowiadam, że m∊(−1, 1), ale nie zgadza się to z

	1
odpowiedzią w podręczniku, która wygląda tak: m∊(−1, 1) U {1		)
	4

	1
Mógłby mi ktoś wytłumaczyć dlaczego wrzucam 1		do przedziału?
	4

Adamm: Δ=0 oraz t₀>0

Adamm: mamy jakieś równanie x⁴+ax²+b=0 podstawiamy t=x²≥0 jeśli po podstawieniu Δ<0 to oczywiście nie istnieją t spełniające równanie, a tym bardziej x jeśli Δ=0 t₀<0 to nie ma rozwiązań t₀=0 to mamy jedno rozwiązanie t₀>0 to mamy dwa rozwiązania jeśli Δ>0 rozpatrzmy 3 przypadki t₁t₂<0 to mamy 3 rozwiązania t₁t₂>0 [ jeśli t₁+t₂>0 to mamy 4 rozwiązania, jeśli t₁+t₂<0 to mamy 0 rozwiązań] t₁t₂=0 to jedno z rozwiązań jest zerem, wystarczy podstawić 0 (przypadek wystarczająco prosty, ale uciążliwy do omówienia, więc się powstrzymam)

Adamm: t₁t₂<0 to mamy 2 rozwiązania pomyłka

K: Okej a czy do zadania x⁴(m+1)x{2}+m²+6m+9=0 dla jakich wartości m równanie ma dwa różne rozwiązania, te warunki są poprawne?:

⎧	Δ>0
⎩	t1t2<0	− tutaj jeden pierwiastek jest ujemny drugi dodatni więc mamy dwa rozwiązania

⎧	Δ=0
⎩	t0>0	− tutaj mamy jeden pierwiastek podwójny, który musi być dodatni żeby były dwa

rozwiązania

⎧	Δ>0
⎨	t1t2=0
⎩	t1+t2=0

tutaj mamy dwa pierwiastki podwójne, które muszą się równać zero aby były dwa rozwiązania

Adamm: ten trzeci warunek jest bez sensu równość 2 oraz 3 jest spełniona tylko wtedy gdy oba pierwiastki t₁, t₂ są równe zero, ale pierwiastki muszą być różne na wzgląd warunku Δ>0

K: Czyli wystarczą dwa pierwsze?

Adamm: wielomian może mieć pierwiastek podwójny, równanie nie

Adamm: tak

K: O i teraz drugie bangla

	7
z 1) Δ>0 ⇒ m∊(−5. −		)
	3

m²+6m+9<0 (m+3)²<0 m∊∅

	7
z 2) Δ>0 ⇒ m∊(−5. −		)
	3

(m+3)²>0 m∊R

	7
Odp ostateczna: m∊(−5. −		) i się zgadza z podręcznikiem.
	3