ciągi pociągi po prostu Michał: Dla chetnych − Ciagi (jeszcze przed tematem arytmetycznego i geometrycznego) a₁ = 2, a₂ = 1

2		1		1
	=		+		, dla n ≥ 2
an		an−1		an+1

Znajdz a₁₀₀

das: −98

Adamm: 1/a_n+2=2/a_n+1−1/a_n rozpatrzy funkcję A(x)=∑_n=0^∞(1/a_n+1)xⁿ= =1/2+x+∑_n=0^∞(1/a_n+3)xⁿ⁺²= =1/2+x+∑_n=0^∞(2/a_n+2−1/a_n+1)xⁿ⁺²= =1/2+x+∑_n=0^∞(2/a_n+2−1/a_n+1)xⁿ⁺²= =1/2+2xA(x)−x²A(x)

	1		n+1
A(x)=		=∑n=0∞		xn
	2(1−x)2		2

n+1		1
	=
2		an+1

	2
an=
	n

sprawdzamy 2/(2/n)=n

	n−1+n+1
1/(2/(n−1))+1/(2/(n+1))=		=n
	2

ok. zatem a₁₀₀=2/100=1/50

po prostu Michał: nope.

po prostu Michał: Adamm ma dobrze.

po prostu Michał: jednakze to zadanie dla drugiej liceum wiec... jakis "normalniejszy" sposob?

Adamm: wiem, sprawdziłem

Krzysiek:

	anan−1
an+1=
	2an−1−an

	1*2		2
a3=		=
	4−1		3

	1		2
a4=		=
	2		4

	2
a5=
	5

	2
prawdopodobnie an=
	n

dowód;

2		1		1
	=		+
an		an−1		an+1

2		1		1
	=		+
2   n		2   n−1		2   n+1

	n−1		n+1
n=		+
	2		2

n=n

	2
udowodniliśmy, że an=
	an

	2
więc a100=
	100

po prostu Michał: ok fajno to teraz dalej ciagi (juz po arytm. i geometr.) Wykaż, że jeśli a_n jest geometryczny to a₁*a₂*a₃*...*a_n = (a₁*a_n) ^{n / 2}

po prostu Michał: oraz Iloczyn 4 poczatkowych wyrazow ciagu geometr. o wyrazach dodatnich wynosi 324 Oblicz sume 6 poczatkowych wyrazow, jesli a₁−a₂=6

Saizou : Skoro a_n jest geometryczny to a₁=a a₂=aq ... a_n=aqⁿ⁻¹ a₁•a₂•....•a_n=a•aq•...•aqⁿ⁻¹=aⁿq^{1+2+...+n−1}=aⁿq^{(1+n−1)(n−1)/2}=aⁿq^n(n−1)/2= (a²qⁿ⁻¹)^n/2=(a•aqⁿ⁻¹)^n/2=(a₁•a_n)^n/2